由一道联考试题引发的思考

众所周知,数学命题工作是一项艰苦细致、严谨周密的工作,难免夹杂着一些值得商榷、乃至错误的题目。本文就一道最近广为流传的联考试题进行分析、探讨,以期引起读者注意和参考。

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20年第 8期 05

中学教研 (数学 )

3 1

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道联

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考

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众所周知，数学命题工作是一项艰苦细致、严谨周密的工作，难免夹杂着一些值得商榷、乃至错误的题目本文就一道最近广为流传的联考试题进行 .分析、探讨，以期引起读者注意和参考.艇 1已知三棱锥 . A C的底面是正三角形。 s B—

=

÷口i+,一 s 0 O 1cO B n 2 o) (

=

芋【n-)] as0+. i詈 1 2(口.

点 A在侧面 S C上的射影日是△ c的垂心，A= B船 S 口则三棱锥的全面积最大时，,求底面A B A C的面积.1命艇溯源一

所，一号即=,面最，以当詈=,时全积大 此时 A , .^c B=得 s=△

道经典的传统试题：

由上看出，此题涉及的知识点较多，有三垂线定

艇 2在四面体 SA C中， A在平面 S C上 -B若 B的射影日是△S C的垂心。 B求证：在底面A C上的 . s B射影 0是△ B A C的垂心.

理及其逆定理、正三棱锥的概念、棱锥的面积计算等，既有逻辑推理，更有综合计算.对学生的思维能力要求较高，充分体现了能力立意的命题思想.而知识却都是最基础的，不失为一道开拓思维的好题.笔者正准备给学生讲解时。却发现其中有些问题.上述论证充分，推理严密，乎无懈可击，似问题出在那里呢？问题出在符合全面积最大的三棱锥不 存在，即正三棱锥顶角为 10不可能.也 2。命题者在改

显然， 1由题 2题是隐去另一个射影为垂心的 结论，综合三棱锥的面积计算改编而来.2艇 1的基本解法解如图 l连 S,日并延长交 C与。 A易证：M上连 M, A .

C即 C上‘ s胍过 .。面 A s作

编

过程中忽视了符合题意的几何体的存在性.3问题的思考C

S . M, 0为.在底面的射 A OL则 A s影.连 B交 .于 N H s C,则B L sc. 搴戟研 ..霉戟研 .

思考 1为什么在正三棱锥 . B s—A C中/A B _ S不能为 10? 2。

简证A HlS C,图 1A B上 . s C.

如图 2知厶4 B=, O

又 ‘‘ . .

S

B OC= A OC=1 0 . 2。

.上面 A D。 s C HC .A O L B.

又 . A‘ O< S B A, O<B, S

’ ..

‘ . .

在A B A S中，由余弦定理易知：AS< AO=l 0。 .曰 B 2 .B

C

即 0为△A C的垂心. B又 .△A C为正三角形， B。. .

思考 2由思考 l知当 可 / S 10时。 _ B= 2。三棱锥退化成 A AA C故三棱锥不存在全面积 B,最大值，但作如下修改，不失为一道考查思维能此题力的好题：图2

0为底面中心， 三棱锥为正三棱锥，S=S=5=口 A C .

‘ . .

. .

设/ S。 _ B=则 A. s全 3=

口

芋 2+( as s字2% ) i 2o n 0 Osn i¨

() 1求三棱锥的全面积的取值范围，由上易知

结为，a果( 2)。; () 2求三棱锥体积最大时的底面积(或求侧面