2018年四川省成都实验外国语学校直升生自主招生(8)

23．（10分）用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA＝90°，AD ＝DB．求证：CD＝AB．

【解答】解：证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，

CE与AB相交于点E．

∵∠BCE＝∠B，

∴EC＝EB，

∵∠BCE+∠ACE＝90°，

∴∠B+∠ACE＝90°．

又∵∠A+∠B＝90°，

∴∠ACE＝∠A．

∴EA＝EC．

∴EA＝EB＝EC，

即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．

又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，

∴CD＝AB；

证法2：延长CD至点E，使得DE＝CD，连接AE、BE．如图3所示：

∵AD＝DB，DE＝CD．

∴四边形ACBE是平行四边形．

又∵∠ACB＝90°，

∴四边形ACBE是矩形．

∴AB＝CE，