2005年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数(3)

11．函数f(x)

1 e

x

的定义域是.

12．已知向量 (2,3), (x,6),且//,则x. 13．已知(xcos 1)5的展开式中x的系数与(x

2

54

)的展开式中x3的系数相等，则cos = 4

14．设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同

一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)= ；当n>4时， f(n)（用n表示）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）

化简f(x) cos(

6k 16k 1

2x) cos( 2x) 23sin( 2x)(x R,k Z),333

并求函数f(x)的值域和最小正周期. 16．（本小题满分14分）

如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=234.F是线段PB上一点，CF

15

，点E在线段AB上，且EF⊥PB. 17

（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF； （Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足

AO⊥BO（如图4所示）.

（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹

方程；

（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

18．（本小题满分12分）

箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.

（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望. 19．（本小题满分14分）

设函数f(x)在( , )上满足f(2 x) f(2 x),f(7 x) f(7 x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1) f(3) 0. （Ⅰ）试判断函数y f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f(x) 0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论. 20．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上. （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值.

2005试题及答案

参考答案

一、选择题

1B 2D 3A 4D 5B 6D 7C 8C 9A

10B 二、填空题

11.{x|x<0} 12.4 13. 三、解答题

15

．解：f(x) cos(2k

12

14. 5, (n 2)(n 1)

22

3

2x) cos(2k

2x) 2x)

33

2cos( 2x) 2x) 4cos2x

33

函数f(x)的值域为 4;

2

； 函数f(x)的周期T

2

16．（I）证明：∵PA AC 36 64 100 PC

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证

△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB故PA⊥平面ABC

22

又∵S PBC

11

|AC||BC| 10 6 30 22

而

11|PB||CF| 2 30 S PBC 2217

故CF⊥PB,又已知EF⊥PB ∴PB⊥平面CEF

（II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC ∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE

在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC， EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC 故∠FEB是二面角B—CE—FAB105

AP63

5

二面角B—CE—F的大小为arctan

3tan FEB cot PBA

x1 x2 x 3

17．解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）

y y1 y2 3