2005年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数(5)

(II)由

f(2 x) f(2 x) f(x) f(4 x)

f(4 x) f(14 x)

f(7 x) f(7 x) f(x) f(14 x)

f(x) f(x 10)

又f(3) f(1) 0 f(11) f(13) f( 7) f( 9) 0 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,

从而可知函数y f(x)在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解, 所以函数y f(x)在[-2005,2005]上有80220.解(I) （1）当k 0时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程y

（2）当k 0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)(0 a 2)， 所以A与G关于折痕所在的直线对称，有kOG k 1,故G点坐标为G( k,1)( 2 k 1

k 1 a k a

从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M(

k1,)22

1kk21

( 2 k 折痕所在的直线方程y k(x )，即y kx

2222

由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为：

1k21

( 2 k k=0时，y ；k 0时y kx

222

（II）⑴当k 0时，折痕的长为2;

⑵当k 0时,

k2 1k2 1

),P(2,2k ①如下图，折痕所在的直线与边AD、BC的交点坐标为N(0,22

这时， 2 k 0，y PN2 4 4k2 4(1 k2) (4,16(2 k2 1k2 1

),P( ,0②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为N(0,22k

这时， 1 k 2

k2 12k2 1223

y PN () ( ) 22k2

3(k

2 1)2

2k 4k2 (k2 1)3 8k22

2y 16k4/

令y 0解得k

/

2

， 2

∵

y|k 1 2,y| ∴y [

k27

,y|k 216(2 16

27

,16(216

1 k2k2 1

,1),P( ③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为N(2k2k

22

这时， 2 k 1，y

PN () 1

[,1k54

综上述，ymax 16(2