周建方版材料力学习题解答[第三章]

3-1求图中所示杆各个横截面上的应力，已知横截面面积A=400mm2。 解a):

20 103

1 50MPa

400

2 0 40 103 3 100MPa

400

题3-1a)图 解b):

20 103

1 50MPa

400

2左 50MPa

2右

10 10

25MPa400

3

20kN

3左 25MPa 3右

50 103 125MPa 题3-1b)图

400

3-2图中为变截面杆，如果横截面面积A1=200mm2，A2=300mm2，A3=400mm2，求杆内各横截面上的应力。 解a）:

10 103

1 50MPa

200 20 103

2 66.7MPa

30040 103

3 100MPa

400

解b):

题3-2a)图

1 0

10 103

2 33.3MPa

300 30 103

3 75MPa

400

30kN

题3-2b)图

3-3 图示杆系结构中，各杆横截面面积相等，即A=30cm2，载荷F=200kN。试求各杆横截面上的应力。

解:(1)约束反力:

FAYFAX

FDy

3

F 150kN43

F 150kN 4

F 200kN

(2)各杆轴力

FNAB FAY 150kN(拉)FNAC FAX 200kN(拉)FNCD FD 150kN(压)

22

FNAC FNAC FNCD 2002 1502 250kN(压)

题3-3图

(3)各杆的正应力

AB CD

150 103200 103

50MPa(拉), AC 66.7MPa(拉)

300300

33

150 10 250 10 50MPa(压), AC 83.3MPa(压)

300300

3-4钢杆CD直径为20mm，用来拉住刚性梁AB。已知F=10kN，求钢杆横截面上的正应力。

解:

F(1 1.5)

FNCD 35.4kN

1 cos45o

FNCD35.4 103

CD 112.7MPa(拉)

2d 20244

题3-4图

3-5图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为10mm和20mm，试求两杆内的应力。设结构的横梁为刚体。

CX

AFFBy解:取BC段分析，

题3-5图

M

B

0,

FCx 0,FCy 0,FBY 10kN

取AB段分析:

M

B

0,

F1 10kN,F2 20kN

1

F1d12

10 103

4

127.4MPa,

4

102

2

F2

2d2

20 103

4

63.7MPa

4

202

3-6 直径D 50mm的圆轴，受到扭矩Mx 2.15kN m的作用。试求在距离轴心10mm处的切应力，并求轴横截面上的最大切应力。 解:见例3-3

3-7 阶梯圆轴上装有三只齿轮。齿轮1输入功率P1 30kW，齿轮2和齿轮3分别输出功率

P2 17kW,P3 13kW

。如轴作匀速转动，转速n 200rpm，求该轴的最大切应力。

1

题3-7图 解:

P30

T1 1 1432.35N m

n1200P17

T2 2 811.67N m

n2200P13

T3 3 620.68N m

n3200

161616M1620.68 103M21432.35 103

1 49.42MPa, 2 21.28MPa

WP112560WP267313.75 max不在Mmax的截面上

3-8 设圆轴横截面上的扭矩为Mx，试求四分之一截面上内力系的合力的大小、方向和作用点。

Wp1

d13

403

12560mm,WP2

3

703

67313.75mm3

解: 题3-8图

取dA d d

F Y A cos dA

4

d

2200

32Mx

cos d d 4

d

2

4Mxsin 4Mx

d

03 d3 d

d

32Mx

FVx A sin dA 2 2sin d d

00 d4

4

4Mxcos 4Mx

d

03 d3 d

42Mx2

F F 2 F x y

3 d

M3 d

F C X c

4162 2

3-9图中所示一个矩形截面的悬臂梁，受到集中力和集中力偶的作用，试求1-1截面和固定

端截面上A、B、C、D四点的正应力，已知F=15kN，M=20kN·m 解: 1-1截面上

180 3003

IZ 4.05 108mm4

12My20 106 150 A 7.41MPa 8

IZ4.05 10

B 3.71MPa, C 4.94MPa D 7.41MPa

固定端截面上:

6

25 10 150

9.26MPa 题3-9图 4.05 108

B 4.63MPa, C 6.17MPa, D 9.26MPa

A

3-10 图中所示铸铁梁，若h=100mm，δ=25mm,欲使最大拉应力与最大压应力之比为1/3，试确定b的尺寸。 解:

根据分析知，梁截面上压下拉。如图对截面建立坐标系，h1位形心位置7525

25) b 25 h1

75 25 b 25

4687.5 12.5b

75 bM h1M (100 h1)

则 拉 压

IzIz

75 25 (

maxIz1

（2）Iz2

160 20320 4032

2 [ 160 20 90] 40 20 602

1212

58 106mm4

'' max

My

17.3MPa Iz2

3-12试计算在图中所示均布载荷作用下，圆截面简支梁内最大正应力和最大切应力，并指出它们发生于何处? 解:

max

MM32 12.5 106 101.2MPa

WZ d22

50432

max

4FQ45 103 2 3.4MPa

3 d3 50244

最大正应力发生在梁中点截面的A、B两点，

最大剪应力发生在梁中点截面的CD直径上。 题3-12图

3-13 试计算图中所示工字型截面梁内的最大正应力和最大切应力。 解:

No.16

max

Mmax IZ

6

20 80 10 142MPa

1130 104

MAX

15 10

18.1MPa

IzbZ

b13.8 10 6*SZ

FQS

*Z

FQ

3

FQ

800N

55*

Sm

10 5 ( ) 250mm3

2255

3题3-14图

题3-13图

3-14 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，F=800N，试求胶合面上的切应力和横截面上的最大切应力。 解:

FQSZ281.25 800250 800

8MPa 1 7.1MPa、 2 max

IZb2812.5 10IZb2812.5 10

3-15一钢制圆轴，在两端受平衡力偶的作用，其力偶矩为T=2.5kN·m，已知轴的直径为d=600mm，试求该横截面上的最大切应力。如果将实心圆轴改为外直径D与内直径d之比为1.5的空心圆轴，仍然受到同样大小的力偶矩的作用，试求使空心圆周和实心圆轴的τmax相等时，空心圆轴比实心圆轴节省多少材料。 解：实心：

*FQSm

max

MxMx2.5 106 59MPa 3

Wp1 d实

6031616

空心：

Wp2

(D3 d3)

16

d3D

16

[() 1] 2.375

d16

3

1

3

3

d3

Wp2

60

16

3

,

60

所以 d 2.375 45mm

212

dA空[() 1]452 （1.52 1） 0.7 2

A实602

d实4

3-16图中所示为两根悬臂梁，a梁为两层等厚度的梁自由叠合，b梁为两层等厚度的梁用螺栓紧固成为一体，两梁的载荷，跨度，截面尺寸都一样，试求两梁的最大正应力σmax之比。

题3-16图

解：a梁：每层梁所受Mamax

Fl

2

bh2

Wza

6

b梁：只有一层 Mbmax

Fl 2

b(2h)2

Wza

6

M a amax

bWzaMbmaxFlb4bh2

2 2:1 Wzb2bhFl b

3-17有一矩形截面的钢杆其截面尺寸为100 50mm，在杆的两端作用着一对大小为

T 3kN m的力偶矩作用，G 80GPa。试求作用杆横截面上的最大切应力。

解：矩形截面扭转

max

M3 106 2 48.8MPa 2bh0.246 502 100

其中b=50mm，h/b=100/50=2， 0.246

3-18圆柱形密圈螺旋弹簧，簧丝横截面直径为d 18mm，弹簧平均直径为D 125mm。如弹簧所受拉力F 500N，试求簧丝的最大切应力。

（1） max

4F8FD4 5008 500 125

29.27MPa d2 d2 182 183D1.21 1.23(2)c 6.94,k 1.23 (6.94 6.5) 1.215

d7 6.5

8FD 500 125

max k3 1.215 33.2MPa

d 183

D

(3) 125/18 6.94 10用修正公式计算d

3-19试求图3-60中AB杆横截面上的最大正应力。已知F1 20kN,F2 30kN,l1 200mm,

l2 300mm，b 100mm。

扭弯组合

N F1 F2 30 20 50KN

M 30 300 20 200 5000KN mm

max

3.5mN5000 10350 103

30 5MPa

25wA1001003

6

A b2 1002

b31003w

66

3-20矩形截面折杆ABC，受图3-61所示的力F作用。已知 arctan(),a l/4,l 12h，

b h/2。试求竖杆内横截面上的最大正应力，并作危险截面上的正应力分布图。

题3-20图

解:Fx Fcos 0.6F,

Fy Fsin 0.8F hh2

A 6h h

22

h2

h

bhh3W 6612

2

竖杆A截面上的弯矩和轴力为:

MA Fy a Fx l 0.8F 3h 0.6F 12h 4.8FhFNA Fy 0.8F

'

0.8FF

1.6,22

hh ''

4.8FhF

57.6 32

hh max 57.6 max

FFF 1.6 59.2h2h2h2

FFF 57.62 1.62 562

hhh

3-21柱截面为正方形，受压力F作用。若柱右侧有一个槽，槽深为a/4，试求：（1）、开槽

前后柱内最大压应力值及其所在位置；（2）、如在柱左侧（与右侧相对）再开一个相同的槽，此时柱内压应力有多大？ 解:(1)开槽前轴向压应力

NF 2 Aa

距离Yc=

（2）右侧开槽后为偏心受压，作用于点c距形心z轴的

a

,将力向点O简化 8

FN F,.MZ F yc

Fa 8

3a(a)3

3a29a4 A1 题3-21图 Iz

412256

所以：

'

F4F

2A13a

. ''

MzyFa256

4y Iz89a

3

32Fa

4F 8F 3a29a33a2

最大压应力在槽底上各点：

max

（3）如果在左侧也开槽，则为轴心受压：A1 a

a

2

F2F

2

aa

2

3-22图示短柱受载荷F1和F2作用，试求固定端角点A、B、C及D的正应力，并确定其中性轴的位置。

题3-22图 题3-22图

解：在ABCD平面上的内力：

FQY F2 5kN,

MZ F2 600 5 106 600 3 106N mm

6

5

My F1 25 25 10 25 6.25 10N mm,FN F1 25KN

横截面的几何特性：

A 150 100 1.5 10mm,Iy

100 150

1.25 107mm4

12

3

42

100 1503

Iz 2.81 107mm4,

12

应力计算：

25 103

N 1.67MPa4

1.5 10

Mz Y3 106 y

MZ 0.107MPa7

IZ2.81 10MY Z6.25 105 Z

MY 0.05MPa

IY1.25 107

1.67 0.107y 0.05z

中性轴方程为： 1.67 0.107y 0.05z 0

当y 0.z 0.

az 33.4mmay 15.6mm

A B C D

1.67 0.107 75 0.05 50 8.86MPa 1.67 0.107 75 0.05 50 3.86MPa 1.67 0.107 75 0.05 50 12.2MPa 1.67 0.107 75 0.05 50 7.2MPa

3-23图3-64所示为一简易悬臂式吊车架。横梁AB由两根10号槽钢组成。电葫芦可在梁上来回移动。设电动葫芦连同起吊重物的重量共重W 9.5kN。材料的E 200GPa。试求在下列两种情况下，横梁的最大正应力值：（1）、只考虑由重量W所引起的弯矩影响；（2）、考虑弯矩和轴力的共同影响。

题3-23图

解：当电动葫芦运行到AB中点时，梁AB中弯矩最大。 （1）只考虑由重量W所引起的弯矩影响

Wl9.5 103 4 103

Mmax 9.5 106Nmm

44

WZ 39.7cm3 Mmax9.5 103

max W 2 39.7 103 119.7MPa

Z

(2)考虑轴力与弯矩共同影响

AB所受轴力：FN W

44

W 9.5 103 1.27 104N 33

A 12.74cm2

max max N 119.7 4.98 124.7MPa

3-24图3-65所示为一矩形截面柱，受压力F1和F2作用，F1=100kN，F2=45kN。F2与轴线有一个偏心距yp 200mm,b 180mm,h 300mm。试求 max与 min。欲使柱截面内不出现拉应力，问截面高度h应为多少？此时的最大剪应力为多大？

题3-24图

解：A-A截面上内力为：FN F1 F2 100 45 1.45 10N

5

Mz F2yp 45 200 9000KN mm 9 106N mm

截面的几何性：

A bh 180 300 5.4 10mm

42

bh2180 3002

WZ 2.7 106mm3

66

FN1.45 105

2.685MPa4

A5.4 10

6

M9 10Y

M'' 3.333MPa6

WZ2.7 10

'

max '' ' 3.333 2.685 0.648MPa max '' ' 3.333 2.685 6.02MPa

欲使柱截面内不出现拉应力,则有：

max M N＝0 （a）

bh2180h2WzIz 30h2

66A bh 180h

9 106

m 2

30h

N

1.45 105

180h

91061.45 105

0 分别代入（a）式得：2

180h30h

解之得：h 372.4mm

此时： max M N 2.163 2.163 4.33MPa

3-25 传动轴上装有甲、乙两个皮带轮，它们的直径均为D 600mm，重量均为F 2kN，其受力情况如图示。若轴的直径为30mm。试分析该轴的危险截面和危险点，计算危险点的应力大小，并用图形标明该点所受应力的方向。

题3-25图

解：计算简图如图a)所示，

MBx MDx (6 2)

0.6

1.2KN m 2

FBy W 2KN,FBz 6 2 8KN

FDy 6 2 2 10KN Fay=1kN, Fcy=13kN, Faz=Fcz=4kN

轴的扭矩图、水平面内和垂直平面内的弯矩图分别如图b)、c)和d)所示。 轴截面的几何特性计算：

A

d2

4

302

4

706.5mm2

Wp

Wz Wy

d

3

32

2.650 103mm3

d

3

16

5.30 103mm3

危险点在B截面上的E1和E2点上，

Mmax Mymax Mzmax .22 0.32 1.24kN m

max

Mmax

467.8MPaWy

max

Mx

226.4MPa Wp

3-26 一圆截面悬臂梁，同时受到轴向力、横向力和扭转力矩的作用。（1）、试指出危险截面和危险点的位置。（2）、画出危险截面上危险点的应力方向示意图。

题3-26图

解：危险点在B截面的最上和最下面的两点上。

3-27 图3-68为某精密磨床砂轮轴的示意图。已知电动机功率P 3kW，转子转速

n 1400r/min，转子重量W1 101N。砂轮直径D 250mm，砂轮重量W2 275N。磨削

力Fy:Fz 3:1，砂轮轴直径d 50mm，材料为轴承钢。试表示危险点的应力方向，并求出危险点的应力大小。

(水平面内)

(垂直平面内)

题3-27图

解：计算简图如图所示， 电机传递的扭矩 T 9.549

P3 9549 20.5N m N1400

根据力矩平衡：FzZ

P

T 2

2T2 20.46 103

Fz 164N

D250

Fy 3Fz 3 163.7 492N Fy W2 492 275 217N

内力图如图所示。截面的几何特性计算：

Wp

d3

16

2.453 10mm

43

Wz Wy

d3

32

12.27 103mm3

危险点面在A面的D1和D2点，则合成弯矩为：

Mmax Mymax Mzmax .22 0.32 35.35kN m

max

Mmax

2.88MPaWy

max

Mx

0.84MPa Wp

3-28 圆截面短柱，承受一与轴线平行但不与轴线重合的压载荷F作用，圆截面半径为r，现要求整个截面只承受压应力，试确定F作用的范围。 解：压力引起的压应力： N 而 Wy

F r2

d3

32

r3

4

M

My;Wy

F ZC4F ZC

33

r r4

4F ZCF 0 r2 r3

max N max

解之得 Zc=

r

4