重庆大学土木工程弹性力学-04

第四章平面问题的极坐标解答

点：要 ()极1坐中平面标题问的本方基： —— 平程衡程方、何几程、方理物方程相容方、、程界条件。

(2边)坐极中标平问题面求解方的法 应用及应 ： 圆盘用圆、、环壁厚筒、圆形体、楔半无 限面平等体的应力变形与分析。主

要

内容§4-1§4-2 § -3 4§4-4 4-5 §4-§ 6§4-7§ 4- 8§49 §-41-0极坐中标平衡的分方程 微坐标极的中何几方程与物方理程极坐标中 应力的数与相函容方 程应分力的量坐标换式 轴对变应力与称应的位相移 环圆圆筒或受布压力均压 隧力 洞孔圆孔的边力应集中楔 形的楔体与楔面受顶力 平面体在半界上受法边集中力向半平面体在边界上 法受分布力向

前

言对由于向径与圆线线弧成围圆形的圆、形环楔形、扇形、的性弹体宜用极，标坐解求采。 极坐用标示，这些形状的表弹性体体边现条界 件的示表和程方的求得到解大的较简化

。

极坐和直角标坐都标是正交标坐，但系两者明显有的差别：直角在坐标，x中和y坐标都线是直线，固定有 的方，向 和xy坐标量纲相同的都是，L在。极坐中标，标坐( 线 =数)常 和 标坐线 (= 数)常不在同的点不有同的方。 向 标线坐是直，线而 坐标 线圆弧为

曲 坐 的标纲量是L而， 坐 为标量纲为的量一 线；。

§41-坐标极的中衡微分平程方O

. 极坐标中1应的及力微元体体力： 应 力：

f , f PA 面PB 面

, BC面

,

y

d B

d

P

f x

( d )d d A f d

d d C

B面

C d d

d

d

d

应正力向规定：正应 力 ——拉为 正压，为；负 剪应力— 、 — 的正上，面与标方坐向 一致为时；正 、 负面上，与的坐方向相标 反为时正。

2

平.微分方衡程虑微考元平衡(取厚体度为):1O

F 0 ,

d ( d d ) d d Bf C ( )d( d d) y d d d d d d 2 d f d d 0 d 高(小阶，舍去) 量 2

d

P

x ( d)d d A f d

d d dd dd dd d 2 d d d d f dd 0 d d d d 2 2 2 将上化式：开

d d

d d d d

O

d d f d d 0 边同除以

两 dd :

d B

d

P f

x 1 f 0 y( d ) d d A f d

C

F 0 , ( )dd d d d d d d d d d2 d 2 f drrd 0 边同两以 rdrd除 并，去高阶小略量 1 : r 2 r f 0 rr r

d

d

d

M

0,

O

— 剪—力互等应定理于是 ，坐标极下的平方程衡为：1 fr 0 d B

d

Pf

x

( d)d d A f d

C 1 r 2 r d f y0 r rr d d (- 4) 1 方程(-41)包中含个三未量知而，只有个方二程是一次，静 定问题，需考虑变形协超条件调才能求。

解4-§2 极标坐的中几方何与程理方程物.1 何方程几位移(义)定径线段向P的A相对伸：长O

d 1) (有径向只形变无环，向变。

形

P

d x

P PA PA AA P P A 1 B r1 PAPA y B u u u d u ( u ) d u u d ( a ) d径 线段P向的转角：A

u

uA

u d

PB P (B u ) d d u c( ) 线段P的B相伸对：长 1 d P B u 环线向段B的转角：P u ( d u B)B PP 1 u ( d) t na 1 1 P B d

1 0 (b

)径向线段A的相P对伸长：

O 11 0 u

d

xP

( a)d 径向线P段的转角：A b)(u y

B

环向线段P的相对伸B:

长 1

1u

c)(

u u

dB

P 1A

u u

d A

( u ) d环线向P段的转B:

剪应角为变

1 : u d)

u 1( 1 1 1

()

e(2) 有环向只变，无形向变径。形O 径线向段AP的对相长：伸 d

Px

PA A d P d 2r PA d 0 ( f)径向段PA线的转角：

2

d

B

u u d u u 2 d y

B u ( g)

P u u 2

A

A u d

d u环向线PB段的对相伸：长

2

u P B PB BB P P u d u1 u BPPB

(d h

环向)段线P的B转角：

2

u剪应变为：

(i)

2 22 u

u

j)(

3) (应总变 ur u r r r1 r2 0 r r r 1 u u 1 2 r r 1 ur u u r r 1 r 2 r r r ru rr ur 1 u rr r

理得：整(4- 2——)极坐 标的几何下方程

ur 1 uu r r r

2 物理.方程平面力应情：形1 r ( r )E 1 ( r )E 1 2( 1 ) r r r G E 12 r ( r ) E 1 1 2 ( r )E 1 1 2 1 ( ) r r r EG(4- 3 )

面平变情应形：( -4 )

4

性弹力平面问学极题标求坐的解本基方程:平微分衡程方： 1

r1 r r fr 0 r r r 几方程：何ur 1u rr r r 2r f 0r r r ur rr ( 4-1

) (4-2 ) 1 ru u u r rr

物方理程：

1 21( ) 1 r r( r ) r r G E E 1 ( r (平)应面力情形 (4)3)-E

边

条件： 界移位界条边件:ru , u 边界上已为知移，位 fr, f 为 界边已上知的面力分。量(移位单条件)值 u sr ur , u s u l r s m r s f 应r力界边条： l件 r s m s f

rr

r

0 r 0q

r 0 0

l lr

0

r 0 r ar 0 r r a0 r

r b 0 r r b 0

a b baa rb

0 0 0

d r0 d r rd0 r M rr

0 0r 0 0 80 1

0r 180 0

a r r

半径为取a 半圆分的析，由其平衡得：

F0 cos F 0 sin M0x

0r r ar

r a si and 0

y0

r r aOr

r a cos a d 0

0 r

r a

a d aM 0

4§3 极坐-中的标力应函数相容与程1方 .角直标坐下变协形调程方相(容程方) 2 2 2 x y yx 2 2 y x xy

2(2-2)( -22)3 平面(力情形) (2-25)应 2-2(7

) f x y f 2 2 2 2( x y ) 1 ) ( y x x y 2 2 2x y2 ( x )y 0 4 4 4 4 24 2 2 4 0 x x y y 应力应的函力表数示: x 2 f xx y2

2 y 2 f y y x y x y x

2(2-2)6 x( y ),

2. 极标坐的下应力量与分容方相程方法1(步：骤 ())1利用极坐下的标何几程方，得求变表应示的相方容：程

1 2 1r 2 2 rr r r r 2 r 1 ( r r ) rr r

()2利用坐标下的极理方程物得应力表，的相容示方：程 2 1 1 2 r 2 rr r 2 ( r ) 0(常力情体形) ()3利用平衡方程出求应力用数函示表应的分量：力

1 1 2 r 2r r r 22 2 2 r 2 r

1 r r (4将)述上应分力量代应力表入的相示容方程，应得力函表示的数相容 程：方 1 1 r2 r rr 2 0 2

常体(力形)情

方法:2(极坐用标与直坐标角间的之换关系变得求)

1()坐标极与角直坐标间的系：

关O y2 22 r x y a crat n x yy r sin x r c os r y r x si n co s y rx r x c s o y sn i 2 2 y r r xr r

x

xryP ( r , ) x y (2应力分量与相容)方程坐标变换的 应：力分的量标变坐

换 r s i n sin c s o co s x r x x r r rr r cos c o s sni s i n y r y y rr r

r