法向量截面法求解二面角

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数学通讯一——2 O 1 1年第 7、 8期 (上半月)

辅教导学

法向量截面法求解二面角史 嘉(安徽省毫州市第一中学， 2 3 6 8 0 0 )

坐标向量法是解答立体几何问题的通性通

法，它大大降低了传统解法中“一作二证三计算” 的解题技巧，节省了思维，尤其是用法向量求解二面角，不论二面角的开口方向、大小如何，不管两半平面的“形状”怎样，无论二面角有棱没棱，更是“所向披靡” . 教学实践和高考阅卷表明，使用向量法求出两半平面法向量夹角的余弦值后，将遇到的一个

问题却一直困扰着不少考生，那就是判断两法向量的夹角与该二面角的平面角到底是相等还是互补.比如， 2 0 1 0年安徽省理科数学立体几何解答题的第 ( 1 l I )问是求二面角的大小，在阅卷过程中笔者作了粗略地统计，超过八成的考生选择坐标向 量法求解，其中近四成的考生计算出了其余弦值， 最后，只因判断错了其平面角的大小而没能得满分，着实可惜 . 贵刊的文 I - 1 - 1介绍一法：在二面角的棱上任取一

\/

/法向量截面围~

图 1

面角 0— 7 c一< m, n>,下图中一< m, n> .此判断过

程和截面图可在草稿纸上完成，熟练后甚至可以 不画出，答题时以“经判断可知”一句话概之. 例1 如图 2是一几何体的直观图和三视图. ( 1 )求二面角 E - PC - D的余弦值； ( 2 )求平面 P E C与平面AB C D所成 (锐)二面角的大小 .2

点 M,在二面角的内部任取一点 N,构造向量

÷

M .然后根据 M n 和 M n。的符号确定两个法向量的方向，进而确定二面角的平面角与两

个法向量的夹角是相等还是互补. 文[ 2]则“改进”为：在二面角的两个半平面内 各取一点 (点不在棱上 ) M、 N,构造向量 M,然后同样根据 M n。和 M 1 1。的符号判定二面角平面角的大小.

24翻枧田

坐标向量法解题本来计算就够繁杂的，两种方法都是在求出两个法向量后，再取(计算) M和俯视图 ………… …

’ ……‘ …。 ‘ …… ’ ’ _

i

N点，构造(计算 )向量，计算 n 和丽 n 的值，这无疑大大增加了计算量，还要记忆什么“同号相等，异号互补”,使用起来比较复杂. 鉴于此，本文给出准确而快捷的“法向量截面法”,无需额外计算，只要分析一下法向量的坐标符号即可.请看图 1 .

图 2

解根据该几何体的三视图知棱 B C、 B A、 B E两两垂直，所以以 B为坐标原点，以B C、 B A、 B E为轴、 Y轴、轴建立空间直角坐标系， F为P D的中点，如图 2 .则 A( O, 4, O ), B( O, 0, O ), C ( 4,0, 0 ), D( 4, 4, 0 ), E( 0, 0, 2 ), F( 2, 4, 2 ), P( 0, 4,

说明法向量截面图中粗线为两半平面的截面.使用时参照坐标轴画出二面角的法向量截面图的大致方向，口角的大小无关紧要，关键是根据法向量 n一 ( z, y, z )的坐标 3 7, Y, z的符号判断出

4 ), 一(一4, 0, 2 ), - c - P= (一4, 4, 4 ), 一( 2,0, 2 ), BE一 ( O, 0, 2 ) .

( 1 )设 m一 ( z, y, z )是平面 P E C的一个法向量，则由

n指向二面角的内部还是外部，上图中二面角的平

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￣

- C - -￣= 0,

得 f=

。,

=

( 2, 0, 4 ),菌一(一2, 0, 1 ),百一 ( o,一2, 4 ) .( 1 )设平面 D A, E的一个法向量为 m一 ( z, y,),

可取 z一 2,得 X一 1, Y一一 1 .。

.

.

m一 ( 1,一 1, 2 ) .

又‘.

是平面 PC D的一个法向量，一一 2.

舳则由{: m: . j E j一 o,得 1 2… z y+ q - 2 z =一 O o,取 Y一 1,知一一 2, z= 4,I - . n l一 ( 4, 1,一2 ) .

一 sc m

根据平面 P EC和平面 PC D的位置及法向量 m和的方向可判断一， c一< m,Ⅱ>,如图 3,故二

同理可求得

平面 B DE的一个法向量为 n一( - 1, 1, - 2 — s< m, n>一一，

面角 E - P C - D的余弦值为一 2./

经判断可知，二面角 A一 DE - B的大小为ar ccos .

AF .

BE

f

R

(判断的法向量截面图可省略不写，请读者牛刀小试 .此题的二面角看着像钝角，其实是锐角，切忌不可意判. )

( 2 )由( 1 )知平面 B DE的一个法向量为=图 3 图 4

(一 1, 1,一 2 ),n, 一 一 ,

( 2 )由( 1 )知 m是平面 P EC的一个法向量， B E是平面 AB C D的一个法向量，

m,蔚 )一m l l

一

,

I E I

O

根据平面 P E C和平面 AB C D的位置及其法向量赢和BE的方向可判断口一 ( m, n>,如图 4 .

故平面 P EC与平面 ABC D所成(锐 )二面角的大小为 a r c c o s .例2 (改编2 0 0 8年全国 I I )如图5,正四棱柱图 6

其过直线 A。 B的法向量截面图如图 6,则一

AB C D- AI B1 C l Dl中， A A1— 2 A B一 4,点 E在CC1上且 C E= 3 E C.

< n,

一号0 i n一

< n,

: O,

(I)求二面角 A, - DE - B的大小； ( U)求直线 A B与平面 B DE所成的角.

故直线 A B与平面 B DE所成角的大小为ar c s i n0

.

注该题的第 ( 2 )问的解答为我们提供了求直线与平面所成的角使用法向量的判定方法 . 参考文献：

[ 1] 齐相国.法向量求二面角时法向量方向的判断方法[ J] .数学通讯 (上半月),2 0 0 9 ( 4 ) . [ 2] 李锋 .对《法向量求二面角时法向量方向的判断方法》一文的改进 E J] .数学通讯 (上半图 5

月),2 0 1 0 ( 9 ) .

解以 D为坐标原点，射线 D A为 z轴的正半轴，如图 5,建立右手直角坐标系 D - x y z . 依题设有 B( 2, 2, O ), C ( O, 2, O ), E( 0, 2, 1 ),

[ 3] 张景中，彭翕成.绕来绕去的向量法[ M] .北京：科

学出版社， 2 0 1 0年第 1版.(收稿日期： 2 0 1 1—0 3—0 8 )

A 1 ( 2, 0, 4 ),魔一 ( o, 2, 1 ),方一 ( 2, 2, 0 ),