高中数学解析几何部分对称问题的研究

高中数学解析几何部分对称问题的研究

新乡市第一职业高中 冷中军（453000）

高中数学解析几何中对称问题很多，在高考中出现的频率也较高，但现行教材中却讲得很少，令学生不知从何处着手。所以笔者对此进行了初步研究，并总结成文，以期对学生有所帮助。

解析几何中对称问题研究的原因：一是从图形上看圆锥曲线有很好的对称性；二是从量的方面看，对称意味着两个常用等量关系：对称轴——线段的垂直平分线，隐含着垂直（斜率负倒数、向量内积等于零）、平分（线段中点坐标适合对称轴方程）两个关系；对称中心——线段的中点、中点坐标公式也是两个关系。

解析几何中对称问题研究的分类：一是关于点对称，即中心对称，包括特殊的点（坐标原点）对称；二是关于直线对称，即轴对称，包括特殊轴（如x轴、y轴、直线y= x）的轴对称。

现分述如下： 1、 关于中心对称

1.1、 关于坐标原点中心对称

理论推导：如图，点P0(x0,y0)关于坐标原点O（0，0）的对称点P（x,y）。

y y0

y y0 0

2

引申：曲线L：F(x，y)=0，关于坐标原点的中心对称曲线L'：F(-x，-y)=0。 1.1.1、

点关于坐标原点中心对称

例如，点A（-3，2）关于坐标原点的中心对称点A'（3，-2）。

1.1.2、 线关于坐标原点中心对称

例如，直线Ax+By+C=0关于坐标原点的中心对称直线是-Ax-By+C=0，即：