高中数学解析几何部分对称问题的研究(7)

理论推导：如图，点P0(x0,y0)关于任意直线L：Ax+By+C=0的对称点P（x,y），则有直线L：Ax+By+C=0的方向向量v ( B,A)，与P0P的内积等于零， P0 B(x x0) A(y y0) 0

即：Ay Bx Bx0 Ay0 0————（1）

再根据P0P的中点在直线L上，得：A

x0 xy y

B 0 C 0 22

即：By Ax Ax0 By0 2C 0————（2）

(A2 B2)x0 2ABy0 2AC

x 22 A B联立（1）、（2）解出点P的坐标 22

2ABx (B A)y 2BC00 y A2 B2

引申：曲线L：F(x，y)=0，关于直线l：Ax+By+C=0的对称曲线L'：

2ABy (A2 B2)x 2AC2ABx (B2 A2)y 2BC

（ ， ）=0。

A2 B2A2 B2

主要方法：（1）、点与对称点的中点在已知直线上；点与对称点的连线的

斜率是已知直线斜率的负倒数（仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单）或点与对称点的连线的方向向量与已知直线的方向向量的内积等于零。（2）、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，再解方程组求出两直线的交点，再利用中点坐标公式求解。

例10 求点A（-3，5）关于直线a：3x-4y+4=0对称的坐标。

解法一：设点A（-3，5）关于直线a的对称点A'(x',y')，则AA' a且AA'

的中点在a上。

x' 3y' 53 4 4 0 x' 3 22有 解得： ' '

y 53y 3 1' x 34

所以点A（-3，5）关于直线a对称点坐标为（3，-3）。

解法二：设过点A（-3，5）与直线a垂直的直线方程为：4x+3y+D=0 将点A（-3，5）代入方程得：D=-3 即4x+3y-3=0

3x 4y 4 0 x 0联立 知交点P为

4x 3y 3 0y 1

设点A（-3，5）关于直线a的对称点为A'，则P为AA'的中点，利用中点坐标公式求得A'（3，-3）。

例11 △ABC的顶点A（4，-1），其他两角平分线为l1：x-y-1=0，l2：x=1，求BC边所在直线方程。

解：三角形一个顶点关于另两角平分线的对称点必在这个顶点的对边上。x=1的对称点为A（x-y-1=0的对称点为A1(a,b)，A关于l2：-1），设A关于l1：2-2，

a 4b 1

2 2 1 0 a 0则 解得： b 1b 3 1

a 4

所以A1(0,3) BC的方程由两点式得：2x-y+3=0 。

2.2.2、线关于任意直线的轴对称

主要方法：设直线a、b关于直线l对称，根据平面几何知识，知有如下三个性质：（1）、若a和b相交，则l是a、b交角的平分线；若a∥b，则b∥l且a、b与l等距；（2）、若点A在a上，则A关于l的对称点B在b上，且AB⊥l，AB的中点在l上；（3）、设P（x，y）是所求直线上一点，则P关于l的对称点

P0的坐标也适合直线a的方程。