Minitab区间估计和假设检验

区间估计和假设检验

Minitab

利用样本的信息对总体的特征进行统计推 断。通常包括两方面：一类是进行估计， 包括参数估计、分布函数的估计以及密度 函数的估计等； 另一类是进行检验。主要介绍利用Minitab 对正态总体参数进行区间估计和假设检验， 其次再来介绍对观测数据的正态性进行检 验，最后介绍一些常用的非参数检验方法

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假设检验是从样本特征出发去判断关于总体分布的某种 “看法”是否成立。 一般步骤为 :(1)根据问题提出一个原假设H0和备择假设H1 (2)构造一个统计量T,其抽样分布不依赖任何参数 (3)计算概率值 p P{统计量 T超过 T ( x1 , x 2 ,..., x n ) | H 0 ) (4)判断：若 p ,则拒绝原假设H0,否则接受H1。

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Minitab

单正态总体的参数的假设检验条 件

H 0 : H1

检验统计量

拒绝 H0

0 : 0

p P{U U ( x1 , x 2 ,..., x n )} U X 0

2已 知

0 : 0

n

p P{| U | | U ( x1 , x 2 ,..., x n ) |}

0 : 0 0 : 0 0 : 0 0 : 0t X 0 s n

p P{U U ( x1 , x 2 ,..., x n )} p P{t n 1 t ( x1 , x 2 ,..., x n )}

2未 知

p P{| t n 1 | | t ( x1 , x 2 ,..., x n ) |} p P{t n 1 t ( x1 , x 2 ,..., x n )}

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Minitab

单正态总体的参数的假设检验条 件

H 0 : H1 2 20 : 2 20 2 2 0

检验统计量

拒绝 H0

未 知

p P{ 2 n 1 2 ( x1 , x 2 ,..., x n )}

: 2

2 0

2

( n 1) s 2

20

p P{ 2 n 1 2 ( x1 , x 2 ,..., x n )} 2 或 p P{ 2 n 1 2 ( x1 , x 2 ,..., x n )} 2

2 20 : 2 20

p P{ 2 n 1 2 ( x1 , x 2 ,..., x n )}

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Minitab

两正态总体的参数的假设检验条件

H 0 : H1

检验统计量

拒绝 H0

21

1 2 : 1 2 1 2 : 1 2 1 2 : 1 2U

X Y

p P{U U ( x1 ,..., xn1 ; y1 ,..., y n2 )} p P{| U | | U (x1 ,..., xn1 ; y1 ,..., yn2 ) |} p P{U U ( x1 ,..., xn1 ; y1 ,..., y n2 )}

22已知

21 2 2 n1 n 2

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Minitab

两正态总体的参数的假设检验条件

H 0 : H1

检验统计量

拒绝 H0

21 22未知 但 相等

1 2 : 1 2 1 2 : 1 2 1 2 : 1 2t Sw X Y 1 n1 1 n2

p P{t n1 n2 2 t ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )} p P{| t n1 n2 2 | | t ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 ) |}

p P{t n1 n2 2 t ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )}

其中 S w

( n1 1) s 2 x ( n 2 1) s 2 y n1 n 2 2

s2x s2 y ) ,l ( n1 n2

(

s2x n1 ( n1 1)2

s2 y n2 ( n2 1)2

)

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Minitab

两正态总体的参数的假设检验条件

H 0 : H1

检验统计量

拒绝 H0

21 22未知 且不 相等

1 2 : 1 2 1 2 : 1 2 1 2 : 1 2t* X Y s2x s2y n1 n 2

p P{t l t * ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )}

p P{| t l | | t * ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 ) |} p P{t l t * ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )}

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Minitab

两正态总体的参数的假设检验条件

H 0 : H1

检验统计量

拒绝 H0

21 2 2 : 21 2 2

p P{ Fn1 1, n2 1 F ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )}

1

21 2 2 : 21 2 2F s

2 x

p P{Fn1 1, n2 1 F ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )} 2 或p P{Fn1 1, n2 1 F ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n 2 )} 2

2未知

s2y

21 2 2 : 21 2 2

p P{ Fn1 1, n2 1 F ( x1 ,..., x n1 ; y1 ,..., y n2 )}

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Minitab

参数的置信区间待估 参数

置信下限

置信上限

备注 2已知

X u / n

X u / n2

2

单 个 子 样 2

X t n 1 ( ) s / n 2

X t n 1 ( ) s / n 2

2

未知

(Xi 1

n

i

)

2

(Xi 1

n

i

)2

已知

2 n

(1 2 )

2n ( ) 2( n 1) s 2

( n 1) s 2

未知

2 n 1 ( ) 2

2 n 1 (1 ) 2

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Minitab

待估 参数

置信下限

置信上限

备注

(Y X ) u 2

21 n1

n222

(Y X ) u 2

21 n1

n222

1 , 2

2

已知2

两 个 子 样

1 2

(Y X ) t n1 n 2 2 ( 2 ) ( n1 1) s 2 x ( n2 ) s 2 y n1n2 (n1 n2 2) / n1 n2

(Y X ) t n1 n 2 2 ( 2 ) ( n1 1) s 2 x ( n2 ) s 2 y n1n2 (n1 n2 2) / n1 n2

21 , 2 2

未知

1 222

s

2 x

s

2 x

2 1 , 2未知 2

s 2 y Fn1 1, n2 1 ( ) 2

s 2 y Fn1 1, n2 1 (1 ) 2

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Minitab 的假设检验区 分 单样本1 — Sample Z (知道标准偏差时) 1— Sample t (不知道标准偏差时)

Minitab两个样本2 — Sample t Paired t (对应数据)

多个样本

平均值 (正态分布)

ANOVA

比率 分散

1 —Proportion 2 —Proportions Stat > Basic Statistics > Display Descriptive 2 —Variances Statistics

Chi —square Test Stat > ANOVA > Test for Equal Variance

- 显著性水平 : 犯第一种错误的最大概率 - P-Value : 观察值大于计算值的概率 - 拒绝域 : 驳回原假

设的区域 - 两侧检验 : 拒绝域存在于两端的检验 - 单侧检验 : 拒绝域存在于分布一端时的检验

1-Sample Z 知道标准偏差时的总体平均数估计和检验 检验总体均值是否与已知的相等

Minitab

EXH_STAT.MTW

Variables : 选定要分析的 列变量 Confidence interval :指定计算置信度 Test mean : 检验对象值(检验时指定) Alternative : 设定备择假设 Sigma : 输入标准偏差 p 值比显著性水平小时驳回原假设 mu : 原假设, mu not : 对立(备择)假设

Test mean 指定的情况结果解释 : p值比留意水准小 故驳回归属假设, 即母平均不等于5。One-Sample Z: Values Test of mu = 5 vs mu not = 5 The assumed sigma = 0.2 Variable N Mean StDev SE Mean Values 9 4.7889 0.2472 0.0667 Variable 95.0% CI Z P Values ( 4.6582, 4.9196) -3.17 0.002

<35>

1-Sample Z<Confidence interval 指定的情况>

Minitab

结果解释 : 置信区间为最小 4.6582, 最大4.9196(置信度为 95%时)

图像对 Test 与 Confidence interval 的输出

< Test 指定 >

< Confidence 指定 >

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营养学家选择随机的 13 瓶食用油样本，以 确定饱和脂肪的平均百分比是否不同于宣 传的 15%。以前的研究表明，总体标准差 为 2.6% 数据： 食用油.MTW

1-Sample t 不知标准偏差时总体均值的估计和检验

Minitab

EXH_STAT.MTW

Variables : 指定要分析的 列变量 Confidence interval : 指定计算置信区间的置信度 Test mean :指定检验时对象值 Alternative : 设定对立假设 StDev : 标准偏差 SE Mean : 平均误差 CI : 信赖区间 mu : 原假设, mu not : 对立假设 P值比显著性水平小时驳回Ho,即p值指脱离的概率。

Test mean 指定的情况结果解释 : p值小于5%, 故驳回原假设, 即平均不等于5

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对随机选择的 15 个美国高收入家庭的能量 消费进行了度量，以确定平均消费是否不 同于发布值 $1080。 数据： 能源.MTW

2-Sample t 不知标准偏差时两个总体平均差的估计和检验

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Furnace.mtw

Samples in one column(stack形态) : 在1列中比较两个 样本 Sample in different columns(unstack形态) -> First :选择第一个 Col -> Second : 选择第二个 Col Alternative : 设定对立假设 Confidence level :设定置信度 Assume equal variance :假设两个样本的总体方差一致

Two-Sample T-Test and CI: BTU.In, Damper Two-sample T for BTU.In Damper N Mean StDev SE Mean 1 40 9.91 3.02 0.48 2 50 10.14 2.77 0.39 Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: -0.235 95% CI for difference: (-1.464, 0.993) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -0.38

结果解释 : p值大于 5% , 故选择原假设， 即两个总体平均在95% 置信区间无差异P-Value = 0.704 DF = 80

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一个健康管理机构具有两个医院以前的患 者的满意度样本，并想知道

是否对一个医 院的评价高于另一个医院。该信息将用于 查阅患者并为医院改进提供建议。这两个 样本的方差非常接近，因此将对该检验使 用合并标准差。 数据： 医院满意度.MTW

Paired t非独立的两个总体的平均差的估计和检验(两个相关的样本是否来

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自具有相同均值的总体，即配对T检验)。 First sample : 选择第一个 data Col Second sample : 选择第二个 data Col -> 1 Col 与 2 Col 的资料数应相同 Confidence level : 输入置信度 Test mean : 输入对应差的检验平均值 Alternative : 设定对立假设

EXH_STAT.MTW

结果解释 : p值小于显著水平 5%, 故驳回原 假设,即两个总体平均值间有差异

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一位生理学家想确定某种类型的赛跑计划 是否对稳定心率有影响。对随机选择的 15 个人测量了心率。然后对其实施该赛跑计 划，并在一年后再次测量心率。因此，对 每个人前后进行的两次测量构成一个观测 值对。 数据： 赛跑.MTW