2.2.4线面、面面平行习题课

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点、线、面之间的位置关系及语言表达

文字语言表达点A在直线a上 在直线a 点A不在直线a上 不在直线a 点A在平面α上 在平面α 点A不在平面α上 不在平面α 直线a在平面α内 直线a在平面α 直线a在平面α外 直线a在平面α

图形语言表达A A

符号语言表达A∈a A∈a A∈α

a aA

α

A

A∈ αα

aα

a αa

a

b∩α= b∩α=A a∩α=φ a∩α= 或 a∥α

α

A

α

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1.如果一条直线上两点在 文字语言： 公理1. 文字语言： 公理1.如果一条直线上两点在 一个平面内， 一个平面内，那么这条直线在 此平面内( 此平面内(即这条直线上的所 有的点都在这个平面内)。 有的点都在这个平面内)。 图形语言： 图形语言：l α A B

符号语言： 符号语言：符号表示：

A ∈ l , B ∈ l , 且A ∈ α , B ∈ α l α

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文字语言： 文字语言： 公理2.过不在同一直线上的三点， 公理2.过不在同一直线上的三点，有且只 2.过不在同一直线上的三点 有一个平面. 有一个平面. 图形语言： 图形语言：B α A C

符号语言： 符号语言：

A, B, C三点不共线 有且只有一个平面α 使A ∈ α , B ∈ α , C ∈ α

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文字语言： 文字语言：公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点， 3.如果两个不重合的平面有一个公共点 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。

图形语言： 图形语言：

β

α

P

l

符号语言： 符号语言：

P ∈ α且P ∈ β α ∩ β = l且P ∈ l

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公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 2.过不在同一直线上的三点B α A C

推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。 推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。 1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面A α B C l

推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 2.两条相交直线唯一确定一个平面 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。 3.两条平行直线唯一确定一个平面

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确定平面的条件： 确定平面的条件：经过不共线三点

经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面

经过两条相交直线 经过两条平行直线

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概念巩固 下列四个命题中，正确的是 ) 下列四个命题中，正确的是( D A、任何一个平面图形都是一个平面 、 B、平面就是平行四边形 、 C、平面图形可以看成是点的有限集 、 D、三角形可以确定一个平面 、

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概念巩固 下列四个命题中，正确的是 ) 下列四个命题中，正确的是( C A、

三个点确定一个平面 、 B、一条直线和一个点确定一个平面 、 C、两条相交直线确定一个平面 、 D、两条直线确定一个平面 、

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概念巩固 下列五个命题中，正确的是 下列五个命题中，正确的是( C、E ) A、四边形一定是平面图形 、 B、空间的三个点确定一个平面 、 C、梯形一定是平面图形 、 D、六边形一定是平面图形 、 E、三角形一定是平面图形 、

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多线共面问题的证明 例1:两两相交且不过同一点的四条直线 必在同一平面内. 必在同一平面内.练习：如图：1 , l2 , l3是三条直线，且 l1 I l2 = A, 练习：如图： 是三条直线， l 求证： 共面. l2 I l3 = B, l3 I l1 = C , 求证： l1 , l2 , l3 共面.

.

l1C

l2

A

B

l3

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多线共点问题的证明例2:如图，已知三个平面 α , β , γ ,且 α I β = a, 如图，

β I γ = b, γ I α = c, a I b = P,求证：点P在直线c 求证： 在直线c上.

γb

c

αa

P

β

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多点共线问题的证明例3:如图已知 ABC 在平面 α 外. AB I α = P,

AC I α = R, BC I α = Q,求证：P,Q,R三点共线. 求证： 三点共线.A B C P

α

Q

R

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补充练习： 补充练习：

上的点，又点A 1、A为直线 l 上的点，又点A不在平面 内， _______个 则 与 的公共点最多有 _______个. 1

l α

α

2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个 四条直线过同一点， 1或4或6 或 或 平面，则可以作_____________ _____________个不同的平面 平面，则可以作_____________个不同的平面 .

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线面、面面平行习题课 线面、

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1.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条 直线与平面平行的判定定理： 直线与平面平行的判定定理 直线和这个平面内的一条直线平行， 直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直 线和这个平面平行. 线和这个平面平行

a α , b α , a //b a // α即：线线平行，则线面平行 线线平行，

2.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和 直线与平面平行的性质定理： 直线与平面平行的性质定理 一个平面平行， 一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面 相交， 相交，那么这条直线就和交线平行

a // α , a β , α I β = b a // b即：线面平行，则线线平行 线面平行，

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3.平面与平面平行的判定定理：一个平面内两条 平面与平面平行的判定定理： 平面与平面平行的判定定理 相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

a β , b β , a I b = P , a // α , b // α β // α

即：线面平行，则面面平行 线面平行，4.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行 平面与平面平行的性质定理： 平面与平面平行的性质定理

平面同时和第三个平面相交， 平

面同时和第三个平面相交，那么它们的 交线平行

α // β,α Iγ = a, β Iγ = b a //b即：面面平行，则线线平行 面面平行，

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练1、下列说法正确的是 、

( D)

A.直线 平行于平面 内的无数条直线，则L// α 直线L平行于平面 内的无数条直线， 直线 平行于平面α内的无数条直线 B.若直线 在平面 外，则a// α 若直线a在平面 若直线 在平面α外 C.若直线 b,直线 在平面 内，则a// α 若直线a// ,直线b在平面 在平面α内 若直线 D.若直线 若直线a//b,直线 在平面 内，那么直线 就 在平面α内 那么直线a就 若直线 ，直线b在平面 平行于平面α内的无数条直线 平行于平面 内的无数条直线

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上的两点， 练2、A、B是不在直线l上的两点，则过点A、 B且与直线l平行的平面的个数是 ( ) D A .0 个 B .1 个 C.无数个 D.以上三种情况均有可能

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例1、若一直线与两个相交平面都平行，则这 、若一直线与两个相交平面都平行， 条直线与两平面的交线平行

已知 : α I β = l, a// α , a// β , 求证 : a//lγb

δC

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例2、两个全等的正方形 、两个全等的正方形ABCD和ABEF不 和 不 在同一平面内， 在同一平面内，点M、N分别在它们的对 、 分别在它们的对 角线AC、 上 角线 、BF上，且CM=BN 求证： 平面CBE 求证：MN//平面 平面G

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