高一数学课件：函数与方程方程的根与函数的零点(新人教A版必修1)

3. 1 3.1.1

函数与方程

方程的根与函数的零点

【课标要求】

1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数；体会数形结合思想与函数与方程思想的应用. 2.理解函数零点的概念，掌握函数零点的存在性定理. 【核心扫描】 1.求函数的零点.(重点)

2.零点存在性及零点个数的判定.(难点)3.函数的零点与方程根的关系.(易混点)

新知导学

1.函数的零点对于函数y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x) 的零点. 2.方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点 函数y=f(x) 有零点 .

3.函数零点存在的判定方法

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断 的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0 .那么，函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0 . 温馨提示：判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不 一定存在零点；反过来，若函数 y = f(x) 在区间 (a , b) 内

有零点，则f(a)·f(b)<0不一定成立.

互动探究探究点1 函数的零点是函数y=f(x)与x轴的交点吗？ 提示 函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点，而是y=f(x)

与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而 是一个实数.

探 究 点 2 若 连 续 不 断 的 曲 线 y = f(x) , 在 区 间 [a , b] 上 有f(a)·f(b)<0,那么 y=f(x)在 (a,b)内一定有零点，但能确定 零点的个数吗？ 提示 不能，仅能确定一定有零点，但究竟有多少个零点无

法确定.

探究点 3 如果函数 y = f(x)在 [a, b]上是连续不断的曲线，且

f(a)·f(b)>0,则y=f(x)在(a,b)内一定没有零点吗？提示 不一定，如y=f(x)=x2在[-1,1]上，虽有f(-1)·f(1)=

1>0,但其有零点x=0.

类型一

求函数的零点

【例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.

(1)f(x)=-x2+2x-1;(2)f(x)=x4-x2;(3)f(x)=4x+5;(4)f(x)=log3(x+1). [思路探索] 求函数的零点，就是求相应方程的根.

解

(1)令-x2+2x-1=0,解得x=1,

所以函数f(x)=-x2+2x-1的零点为1.

(2)∵f(x)=x2(x-1)(x+1)=0,∴x=0或x=1或x=-1, 故函数f(x)=x4-x2的零点为0,-1和1. (3)令4x+5=0,则4x=-5<0,方程4x+5=0无解. 所以函数f(x)=4x+5不存在零点.

(4)令log3(x+1)=0,解得x=0,所以函数f(x)=log3(x+1)的零点为0.

[ 规律方法 ]

1.本题通过求方程 f(x) = 0的根得出函数的零点，

准确进行因式分解与变形是求方程根的关键.2.求函数 y = f(x) 的零点通常有两种方法：其一是令 f(x) = 0, 根据解方程 f(x) = 0 的根求得函数的零点；其二是画出函数 y =f(x)的图象，图象

与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

【活学活用1】 求下列函数的零点： (1)y=x-1;(2)y=1+log3x; (3)y=x2-x-6. 解 (1)令x-1=0,得x=1,故函数的零点是1.

1 (2)令1+log3x=0,∴log3x=-1,解得x= , 3 1 故函数的零点是 . 3 (3)令x2-x-6=0,得(x-3)(x+2)=0, 解得x=3或x=-2,∴函数的零点为-2和3.

类型二

判断函数零点的个数 可以运用数形结合法或零点存在的判定方法解

【例2】 判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数.[思路探索] 决.

解

法一

函数对应的方程为 ln x+x2-3= 0,所以原函数

零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2 的图象交点个数. 在同一坐标系下，作出两函数的图象 (如图). 由图象知，函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点. 从而ln x+x2-3=0有一个根，即函数y=ln x+x2-3有一个 零点.

法二

由于f(1)=ln 1+12-3=-2<0,

f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,∴f(1)·f(2)<0, 又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在 (1,2)上必有零点， 又f(x)在(0,+∞)上是递增的，所以零点只有一个.

[规律方法]

判断函数零点个数的方法主要有：

(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数； (2)由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一坐标系下作 出y1=g(x)和y2=h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数； (3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.

2 【活学活用2】 (1)函数f(x)=ln x-x的零点所在的大致区间是 ( A.(1,2) C.(3,4)2

).

B.(2,3) D.(e,3)

1 (2)判断函数f(x)=x -x的零点的个数. (1)解析 2 ∵f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3- >0, 3

∴f(2)· f(3)<0.∴f(x)在(2,3)内有零点. 答案 B

(2)解

法一2

1 1 2 由 x -x=0,得 x =x.2

1 令 h(x)=x (x≠0),g(x)=x, 在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象， 由图可知两函数图象只有 1 一个交点，故函数 f(x)=x -x只有一个零点.2

法二3

1 1 2 令 f(x)=x -x=0,得 x =x(x≠0),2 2

1 即 x =1,∴x=1,即函数 f(x)=x -x只有一个零点.