3.1.5空间向量运算的坐标表示-数学选修2-1

3.1.5 空间向量运算的坐标表示

一、向量的直角坐标运算设a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 )则a + b = (a 1 +b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) ;

a b = (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;

λ a = (λ a1 , λ a2 , λ a3 ),(λ ∈ R) ;

a b = a1b1 + a2 b2 + a3b3

;

a // b a1 = λ b1 , a2 = λ b2 , a3 = λ b3 (λ ∈ R) ; a1 / b1 = a2 / b2 = a3 / b3 .

a ⊥ b a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0 ;

二、距离与夹角1.距离公式 1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式 向量的长度(

r r r 2 2 2 | a |= a a = a1 + a2 + a3

r r r | b |= b b = b12 + b2 2 + b32

(2)空间两点间的距离公式 ) 在空间直角坐标系中， 在空间直角坐标系中，已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、B ( x2 , y2 , z2 ),则

uuur AB =

( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )

uuur uuur uuur ( x 2 x1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2 + ( z 2 z1 ) 2 | AB |= AB AB =

d A, B = ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) + ( z2 z1 )2 2

2

2.两个向量夹角公式 2.两个向量夹角公式r r r r a1b1 + a2 b2 + a3b3 a b cos < a , b >= r r = ; 2 2 2 2 2 2 | a | | b | a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3

注意： 注意：

r r r r 思考： 思考：当 0 < cos < a , b >< 1 1 < cos < a , b >< 0 时， 及

r b 反向； 反向； r r r r (3)当cos < a , b >= 0 时，a ⊥ b 。 )

r r r r 同向； (1)当 cos < a , b >= 1 时， 与 b 同向； ) a

r r r a (2)当 cos < a , b >= 1 时， 与 )

的夹角在什么范围内？ 的夹角在什么范围内？

练习一： 练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦： 求下列两个向量的夹角的余弦： 求下列两个向量的夹角的余弦(1) a = (2 , 3 , 3) , b = (1 , 0 , 0) ;

(2) a = ( 1, 1,1) , b = ( 1, 0 ,1) ;

2.求下列两点间的距离： 求下列两点间的距离： 求下列两点间的距离(1) A(1 ,1 , 0) , B (1 ,1 ,1) ;(2) C ( 3 ,1 , 5) , D(0 , 2 , 3) .

三、应用举例例1A 已知 A(3 , 3 ,1)、 (1 , 0 , 5) ,求： B

的中点坐标和长度； (1)线段 AB 的中点坐标和长度； ) 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则 的中点，uuuu 1 uuu uuu r r r 1 3 OM = (OA + OB ) = (3 , 3 ,1) + (1 , 0 , 5 ) = 2 , , 3 , O 2 2 2

M

B

3 ∴点 M 的坐标是 2 , , 3 . 2

d A, B = (1 3) 2 + (0 3) 2 + (5 1)2 = 29 .

(2)到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 ) 满足的条件。 坐标 x , y , z 满足的条件。 的距离相等， 解：点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等，则( x 3) 2 + ( y 3) 2 + ( z 1) 2 = ( x 1) 2 + ( y 0) 2 + ( z 5) 2 ,

化简整理，得 4 x + 6 y 8 z + 7 = 0 化简整理， 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满 足的条件是 4 x + 6 y 8 z + 7 = 0

例2

B 如图，在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， 1 E1 = 如图，

A1 B1 = D1F1 = 4

所成的角的余弦值

。 ,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。解：设正方体的棱长为1,如图建 设正方体的棱长为 ，C1

z

D1 A1

F1 E1 B1

立空间直角坐标系 O xyz ,则

3 B (1 ,1 , 0) , E1 1 , ,1 , 4 C

D

OB

y

1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , , 1 . 4

A

x

uuuu 3 r 1 BE1 = 1 , , 1 (1 ,1 , 0) = 0 , ,1 , 4 4

例2

B 如图， 如图，在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， 1 E1 =A1 B1 4

= D1 F1 =

所成的角的余弦值。 ,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。uuuu 1 r 1 DF1 = 0 , , 1 (0 , 0 , 0) = 0 , ,1 . 4 4 uuuu uuuu r r 15 1 1 BE1 DF1 = 0 × 0 + × + 1 × 1 = , 16 4 4

zD1 A1 F1 E1 B1 C1

D

O

A

x

uuuu r r 17 uuuu 17 C y | BE1 |= , | DF1 |= . 4 4 15 uuuu uuuu r r B uuuu uuuu r r BE DF1 15 16 uuuu 1 uuuu = r r cos < BE1 , DF1 >= = . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 × 4 4

练习二：正方体A1B1C1D1-ABCD,E、F分别是C1C D1A1的中点， 求 < AB, EF > 1) 2)求点A到直线EF的距离。 (用向量方法)F A1 B1 E D1 C1

D

C

A

B

练习三： 练习三：如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面 ABC中， CA=CB=1,∠BCA=90o,棱AA1=2,M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos < BA1 , CB1 > 的值； 3)求证：A1B ⊥ C1M。A A1 M C1 B1

N C

B

思考题：已知A(0,2,3)、B( 2,1,6), C (1, 1,5), 用向量 方法求 ABC的面积S。

四、课堂小结： 课堂小结：1.基本知识： 基本知识： 基本知识 (1)向量的长度公式与两点间的距离公式； )向量的长度公式与两点间的距离公式； (2)两个向量的夹角公式。 )两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 思想方法： 思想方法 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 可以先建立直角坐标系，然后把向量、 标化， 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。 证明。