Bdvkic复变函数试题及答案

Bdvkic复变函数试题及答案

生活需要游戏，但不能游戏人生；生活需要歌舞， 生活需要游戏，但不能游戏人生；生活需要歌舞，但不需 醉生梦死；生活需要艺术，但不能投机取巧；生活需要勇气， 醉生梦死；生活需要艺术，但不能投机取巧；生活需要勇气， 但不能鲁莽蛮干；生活需要重复，但不能重蹈覆辙。 但不能鲁莽蛮干；生活需要重复，但不能重蹈覆辙。-----无名

西安交通大学考试题课 程系 别

成绩

复变函数

(A) ) 考 试 日 期 2007 年 7 月 5 日

专业班号 姓 名 学 号 期中 期末

一. 填空(每题 3 分，共 30 分) 1. 3i = 2. z 0 =0 是函数 f ( z ) =cos z 1 的 z5 (说出类型，如果是极点，则要说明阶数)

3. f ( z ) = x 3 + 3 x 2 yi 3xy 2 y 3i ,则 f ′( z ) = 4. Re s[ 1

z sin z

, 0] =

5. 函数 w = sin z 在 z =∞

π4

处的转动角为

6. 幂级数 ∑ (cos in) z n 的收敛半径为 R =____________n =0

7.

∫

1

0

z sin zdz =1

8.设 C 为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则 ∫C

ez dz = z2

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9.函数 f ( z ) = 10.

∫| z| = 3 2

z 在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ z 1 dz = 2 ( z + 1)( z 2 + 4)4

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二．判断题（每题3分，共30分）

1．f(z) zzn在z 0解析。【 】

2．f(z)在z0点可微，则f(z)在z0解析。【 】 3．f(z) ez是周期函数。【 】

4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数

c

n 0

n

收敛，而

|c

n 0

n

【 】 |发散，则 cnzn的收敛半径为1。

n 0

6． tan()能在圆环域0 |z| R(0 R )展开成洛朗级数。【 】 7． n为大于1的正整数, Lnz nLnz成立。【 】

8．如果函数 f(z)在z0解析，那末映射 f(z)在z0具有保角性。【 】 9．如果u是D内的调和函数,则f

n

1

z

u u i是D内的解析函数。【 】 x y

10．

3

|z|

2

1

dz

z2(z 1)

px

|z|

32

1

2dz 2 i1| 2 i。【 】 z 1z 1z2

三．（8分）v esiny为调和函数，求p的值，并求出解析函数f(z) u iv。

z

在圆环域1 z 2和1 z 2 内的洛朗展开式。

(z 1)(z 2)

四．（8分） 求f z

五．（8分）计算积分

2cosx

。 2

x 4x 5

六．（8分）设f(z)

C

3 2 7 1

d ，其中C为圆周|z| 3的正向，求f (1 i)。

z

七．（8分）求将带形区域{z|0 Im(z) a}映射成单位圆的共形映射。

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复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)

一.填空(各3分)

16s2 2

1.e； 2. 三级极点 ；3. 3z ；4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. 2 ；8. 0； 3

e(s 1)

111

( 2) ( 2)]。 9. 0 ；10. [

2j( 2)j( 2)

2k iln3

2

二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错 ；5.正确 ；6.错； 7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。 三(8分) 解: 1)在1 |z| 2

111 zn1 1nzn 11

f(z) z( ) z( () ()) (n 1 n)-----4分

z 2z 12n 02zn 0zzn 022) 在1 |z 2|

111111

f(z) (1 ) (1 ) ( 1)n--4分 n 2

1z 2z 2 1z 2z 2(z 2)n 0

(z 2)(1 )

z 2

四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故

eixeiz

x2 4x 5 2 iRes[z2 4z 5, 2 i] --------3分

eiz

(cos2 isin2) --------6分 2 ilim(z ( 2 i))2

z 2 iz 4z 5e

2cosxeix2

dx 2Re cos2 ---------8分 故 x2 4x 5 x2 4x 5e

3 2 7 1

五.(8分) 解: f (z) -------3分 2 ( z)C

由于1+i在|z| 3所围的圆域内, 故

3 2 7 1

f (1 i) d 2 i(3 2 7 1) | 1 i 2 ( 6 13i) -------8分 2

( (1 i))C

六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到

f(z) e

i

e

a

z

ea 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:

z

(映射不唯一,写出任何一个都算对)

s2`Y(s) sy(0) y (0) (sY(s) y(0)) 3Y(s)

3

s 1

3 1

代入初始条件,得Y(s) 2 --------4分

s 2s 3

513

31

(s 1)(s 3)(s 1)(s 3)(s 1)s 1s 1s 3

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故, y(t)

3 t5t1 3t

e e e ---------8分(用留数做也可以) 488

复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)

一.填空(各3分)1.e

2k iln3

；2. 三级极点 ；3. 3z； 4. 0 ；5. 0 ；6.

2

1

；7. sin1 cos1 ；e

8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。

二.判断1.错；2.错；3.正确 ；4. 错 ；5.正确 ；6.错 ；7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。 三.(8分) 解:因为v epxsiny是调和函数,则有

2v 2v2pxpx2px

,即 0pesiny esiny (p 1)esiny 0 故p 1---------2分 22

x y

1) 当 p 1时, v exsiny, 由C-R方程, u v excosy, 则u(x,y) excosy g(y), 又由 x y u v

exsiny g (y) exsiny，故 g (y) 0, 所以g(y) c 。 y x

则 f(z) ez c ----------3分 2) 当 p 1时, v e xsiny, 由C-R方程, u v e xcosy, 则u(x,y) e xcosy g(y), 又由 x y u v

e xsiny g (y) exsiny，故 g (y) 0, 所以g(y) c …… 此处隐藏：1527字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……