8.5圆形磁场的汇聚

【例1】在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点O不断以

相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy

平面的磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x

轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.

解：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv0/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可

能的运动轨道如图所示，因为电子只能向

第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O1，它就是磁场

的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的

圆弧O1O2On。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有

电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O2而言，要使

电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O2作弦的垂线O2A，则电子必将从点A飞

出，相当于将此轨迹的圆心O2沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。

由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O1O2On沿y方向向上平移了半径R后所

在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。综上所述，要求的磁场的最小

区域为弧OAP与弧OBP所围。利用正方形OO1PC的面积减去扇形OO1P的面

积即为OBPC的面积；即R2-πR2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S

222＝2（R-πR/4）＝（π/2 -1）（mv0/Be）。

电子质量为m, 电荷量为e,从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限,射入时速度方向不同,速度大小均为v0,如图8所示.现在某一区域加一方向向外且垂

直于xOy平面的匀强磁场,磁感应强度为B,若这些电子穿过磁场

后都能垂直射到荧光屏MN上,荧光屏与y轴平行,求:

（1）荧光屏上光斑的长度.

（2）所加磁场范围的最小面积.

解析 （1）如右图所示,求光斑的长度,关键是找

到两个边界点沿弧OB运动到P,初速度方向沿y轴

正方向的电子,初速度方向沿x轴正方向的电子,沿弧OC运动

到Q.设粒子在磁场中运动的半径为R,由牛顿第二定律得: qv0B=m v0

R2 ,即R=

mv0

Bemv0Be 从图中可以看出PQ=R=

（2）沿任一方向射入第一象限的电子经磁场偏转后都能垂直打到荧光屏MN上,所加最小面积的磁场的边界是以O′为圆心、坐标为（0,R）、半径为R的圆的一部分,如图中实线包围面积.所以磁场范围的最小面积 S= 3

4πR2+R2- 14 πR2=（ π2+1）（mv0

Be ）2

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