第四章 导热问题的数值解法 Numerical Methods of Heat Conduction

第四章 导热问题的数值解法 Numerical Methods of Heat Conduction

§ 4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立

& t

c ( t)

导热问题一般为: 0 t f(x,y.z)

边界条件

上述问题的解法有以下两种:

1. 理论解(analytical method): 通过对上述方程积分求得(有限情况)。

2. 用某种方式把微分方程化为关于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近似解的方法。 连续——离散(任意情况) 数值求解的基本步骤

1.数学描述 2.区域离散化

3.建立节点物理量的代数方程 4.设立迭代初场 5.求解代数方程组 6.解的分析

1.数学描述

& t

c ( t)

0 t f(x,y.z)

边界条件

导热问题一般为:

无限长棱柱（如图）导热、沿高度各截面的温度分布相同，可简化为二维问题。

( const)

y

t h

2

2t t

0 2 2

y y tx 0 0

x

t

q x a

x

t

y 0 h(t t)

y

y b t tb

2. 区域离散化

有限差分法原理 finite difference 有限元法 finite element 边界元法 boundary element 有限分析法 finite analysis 网格划分 grid

节点(node): 网格线交点.

控制容积(control volume): 节点代表的区域 ,其边界位于两点之间. 界面(interface): 控制容积的边界.

网格划分方法:

practice A 先确定节点，后定界面 practice B 先确定界面，后定节点 均分网格: x const y const 节点编号: 从小往大排

m1,n

3. 代数方程的建立 （1）Taylor 级数展开法 对点(m,n)作Taylor 展开:

tm 1,n tm,n

2

1 t t

x 2

x2! x m,n

3

1 t2

x 3 3! m,n x3 1 t2

x 3 3! m,n x

x3 0( x4) m,n

x3 0( x4) m,n

tm 1,n tm,n

2

1 t t

x 2

2! x m,n x

两式相加得:

tm 1,n tm 1,n 2tm,n (

2

t x

2

2

)m,n x 0( x)

24

(

t x

) 2m,n

2

tm 1,n tm 1,n 2tm,n

x

2

0( x)

2

同理

(

t y

2

)m,n

tm,n

1 tm,n 1 2tm,n

y

2

代入微分方程得: 对于正方形网格

tm 1,n tm 1,n 2tm,n

x

2

tm,n 1 tm,n 1 2tm,n

y

2

0

x y

则有:

tm 1,n tm 1,n tm,n 1 tm,n 1 4tm,n 0

（2）热平衡法（热力学第一定律）

w y

tm 1,n tm,n

x

F w e n s 0

x

,n

y

tm 1,n tm,n

x

y

tm 1,n tm,n

x

tm,n 1 tm,n

y

x

tm,n 1 tm,n

y

0

说明: <1> 用此方法所得的边界方程是有O(Dx2)精度 <2>解析解是温度（物理量）的连续函数 <3>数值解得出离散点上的数值

§ 4-2 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 1. 边界上离散方程的建立

对于边界节点要根据边界条件来确定。

1) 第一类边界条件, y=b 处将边界温度直接代入即可,方程封闭。

2)对于第三类边界条件, y=0对控制体直接应用热力学第一定律

ytm 1,1 tm,1 ytm,1 tm 1,1

2 x 2 x

t

x

m,1 tm,2

y

h x(t tm,1) 0

当 x y时,上式为:

tm 1,1 tm 1,1

x

2 2tm,1 tm,2

h

(t tm,1) 0

tm 1,1 tm 1,1

2

txm,2

t (2

x

)tm,1 03) 对于第二类边界条件

x 0, 取 h x(t tm,1) 0 即可

x a 将h x t tm,1 换成q即可,或取控制容积用热力学定律仿上面方

法求解.

4）不规则边界的处理 折线法 坐标变换 2. 代数方程的求解

直接求解 (内存大) 矩阵求逆 消元法 迭代法 (使用较多) Gauss—Seidel迭代 点迭代 线迭代 块迭代

,

直接求解法 内存大 迭代法

使用较多

Gauss---Seidel 迭代

n

线性方程组:

j 1

Aijtj Bi

i 1

可以写成: Aiiti Aijtj

j 1

i 1(n) Aijtj

j 1

n

At ijj Bi j i 1

N

ti

(n)

j i 1

Aijtj

(n 1)

Aii

BiAii

上角标为计算序号,计算时先给出ti 的初值,然后用上式进行迭代。 终止计算的方法：

1. maxti2. max

(k)

ti

(k 1)

ti

(k)

titi

(k)

(k 1)

给定精度

3. 例题

针肋如右图所示，碳钢 l=43.2W/(m.K)，求其温度分 布及换热量。 解：P d

0.03141 m

t0 200 C t 25 C00

10

0 200 25 175 C

hP

h d

4h

33.33 m

Ac

d

4

2

d

m

mH 33.33 0.03 1

0

ch m H x ch(mH)

hPm

0th(mH)

以上是精确解，现在我们用数值方法求解： 网格划分如右图： 该问题的数学描述为

1 3 2 2

x

2

2

d dx

2

4

2

2

m

2

x 10

节点2：

m 2

2

或 (2 m x) 2 1 3

同理得节点3:

(2 m x) 3 2 4

22

节点4 用热力学第一定律，导入的热量应等 …… 此处隐藏：1764字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……