复变函数与积分变换复习提纲

复变函数复习提纲

(一)复数的概念及其各种表示方法

1.复数的概念：z x iy，x,y是实数, x Re z ,y Im z .i 1.

2

注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1

）模：z

2）幅角：在z 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z 是位于( , ]中的幅角。

y

之间的关系如下： x

y

当x 0, argz arctan；

x

3）arg z 与arctan

y 0,argz arctan

当x 0,

y 0,argz arctan y

x

； y x

4）三角表示：z z cos isin ，其中 argz；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：z ze，其中 argz。

i

(二) 复数的运算

1.加减法：若z1 x1 iy1,z2 x2 iy2，则z1 z2 x1 x2 i y1 y2 2.乘除法：

1）若z1 x1 iy1,z2 x2 iy2，则

z1z2 x1x2 y1y2 i x2y1 x1y2 ；

i y x iyz1x iyx xyy1 x221

1 1 12221 2iz2x2 iyx iy xi2y 2x2y2222

i

i 2

yy1x22x1

。 2

2x22y

2）若z1 z1e1,z2 z2e

, 则

z1z2 z1z2ei 1 2 ；

zi z1

1e 12 z2z2

3.乘幂与方根

nin

1） 若z z(cos isin ) zei ，则z z(cosn isinn ) ze。

n

n

2） 若z z(cos isin ) zei ，则

2k 2k

z cos isin

nn

1

n

(k 0,1,2 n 1)（有n个相异的值）

（三）平面点集及复平面上的曲线方程

（四）复变函数的概念以及极限与连续性的概念

1．复变函数：w f z ，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2．复初等函数 1）指数函数：e e

z

zx

cosy isiny ，在z平面处处可导，处处解析；且 ez ez。

注：e是以2 i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3） 对数函数： Lnz lnz i(argz 2k )(k 0, 1, 2 )（多值函数）；

主值：lnz lnz iargz。（单值函数）

1Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且 lnz ；

z

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：a e

b

bLna

(a 0)；zb ebLnz

(z 0)

b 1

注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zb

bz

。

eiz e izeiz e izsinzcosz

,cosz ,tgz ,ctgz 4）三角函数：sinz 2i2coszsinz

sinz,cosz在z平面内解析，且 sinz cosz, cosz sinz

注：有界性sinz 1,cosz 1不再成立；（与实函数不同）

ez e zez e z

,chz 4） 双曲函数 shz ； 22

shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且 shz chz, chz shz。

（四）解析函数的概念

1．复变函数的导数 1）点可导：f z0 =lim

z 0

f z0 z f z0

；

z

2）区域可导： f z 在区域内点点可导。 2．解析函数的概念

1）点解析： f z 在z0及其z0的邻域内可导，称f z 在z0点解析； 2）区域解析： f z 在区域内每一点解析，称f z 在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f z 的奇点；

3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；

（五）函数可导与解析的充要条件

1．函数可导的充要条件：f z u x,y iv x,y 在z x iy可导

u x,y 和v x,y 在 x,y 可微，且在 x,y 处满足C D条件：

此时， 有f z

u v , x y u v y x

u v

i。 x x

2．函数解析的充要条件：f z u x,y iv x,y 在区域内解析

u x,y 和v x,y 在 x,y 在D内可微，且满足C D条件：

此时f z

u v , x y u v ； y x

u v

i。 x x

注： 若u x,y ,v x,y 在区域D具有一阶连续偏导数，则u x,y ,v x,y 在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C R条件时，函数

f(z) u iv一定是可导或解析的。

3．函数可导与解析的判别方法

1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）

2）利用充要条件 （函数以f z u x,y iv x,y 形式给出，如第二章习题2） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f z 是以z的形式给出，如第二章习题3）

（六）复变函数积分的概念与性质

1． 复变函数积分的概念：

f z dz lim f z

c

n

k

k 1

n

k

，c是光滑曲线。

注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2． 复变函数积分的性质 1）

c

f z dz 1f z dz （c 1与c的方向相反）；

c

2） [ f z g z ]dz

c

f z dz g z dz, , 是常数；

c

c

3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则3．复变函数积分的一般计算法 1）化为线积分：

f z dz f z dz f z dz。

c

c1

c2

（常用于理论证明） f z dz udx vdy i vdx udy；

c

c

c

2）参数方法：设曲线c： z z t ( t )，其中 对应曲线c的起点， 对应曲线c的终点，则

f z dz

c

f[z t ]z (t)dt。

（七）关于复变函数积分的重要定理与结论

1．柯西—古萨基本定理：设f z 在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则

f z dz 0

c

2．复合闭路定理： 设f z 在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2, cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以c1,c2, cn为边界的区域全含于D内，则

①

f z dz f z dz, 其中c与c

c

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