高代第二章 行列式

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行列式

第一章

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行列式

主要内容： n 阶行列式的定义

行列式的性质 行列式按行(列)展开 行列式的计算 克拉默(Cramer)法则

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§1 引言

§1 引 言一、二元和三元线性方程组● 二元线性方程组

考虑含有两个未知量 x1 , x 2 的线性方程组 a 1 1 x1 a 1 2 x 2 b1 a 2 1 x1 a 2 2 x 2 b 2

利用消元法可得： ( a 11 a 22 a 12 a 21 ) x 1 b1 a 22 b 2 a 12 ( a 11 a 22 a 12 a 21 ) x 2 b 2 a 11 b1 a 21

当 a1 1 a 2 2 a1 2 a 2 1 0 时，方程组有唯一解：

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行列式x1 a 2 2 b1 a 1 2 b 2 a1 1 a 2 2 a1 2 a 2 1 , x2 a 1 1 b 2 a 2 1 b1 a1 1 a 2 2 a1 2 a 2 1 .

§1 引言

若记

a1 1 a 21

a1 2 a 22

a1 1 a 2 2 a1 2 a 2 1

则称其为二阶行列式。 类似可记：D1 b1 b2 a1 2 a 22 , D2 a1 1 a 21 b1 b2

若此条件不成立，会得 到什么结果？

则当 D

a1 1 a 21

a1 2 a 22x1

0 时，方程组的解可表示为

D1 D

,

x2

D2 D

称为求解二元线 性方程的克拉默 法则

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行列式● 三元线性方程组

§1 引言

考虑含有三个未知量 x1 , x 2 , x 3 的线性方程组 a 1 1 x1 a 1 2 x 2 a 1 3 x 3 b1 a 2 1 x1 a 2 2 x 2 a 2 3 x 3 b 2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1

若记a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31

则称其为三阶行列式。

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行列式类似可记：b1 D1 b2 b3 a1 2 a 22 a 32 a1 3 a 23 , a 33 a1 1 D 2 a 21 a 31 b1 b2 b3 a1 3 a 23 , a 33 a1 1 D 3 a 21 a 31

§1 引言

a1 2 a 22 a 32

b1 b2 b3

a11

a12 a 22 a 32

a13 a 23 0 时，方程组的解可表示为 a 33

则当 D a 21a 31

x1

D1 D

,

x2

D2 D

,

x3

D3 D

称为求解三元线 性方程的克拉默 法则

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行列式 例题：1、 解二元线性方程组 x1 3 x 2 5 4 x1 3 x 2 5

§1 引言

2、 已知三阶行列式1 1 1 1 2 x 1 x 1 6

求未知数 x 。

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行列式

§1 引言求和范围求和符号a1 a 2 … a n

二、连加与连乘● 连加

ai 1

n

一般项i

1 i n

a i a1 a 2 … a n

k 1 i n

a i a k 1 a k 2 … a n

二重求和：● 连乘

ai 1 j 1

m

n

ij

aj 1 i 1

n

m

ij

1 i m 1 j n

a ij

a1 a 2 … a n

i 1

n

aim

二重求积：

i 1

m

n

a ij

j 1

j 1 i 1

n

a ij

1 i m 1 j n

a ij

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§2 排列

§2 排 列● 排列

定义：由1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个 n 级排列。

由1,2,…,n可以 组成多少个 n 级排 列？ n! 例如：由1,2,3可

以组成6个3级排列 123,132,213,231,312,321

自然排列

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行列式● 逆序数

§2 排列

定义：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即大数 排在小数的前面，则称它们为一个逆序。一个排列中所有逆序的总数称 为该排列的逆序数。把排列 i1i 2 … i n 的逆序数记为： ( i1i 2 … i n )

n级排列中的逆序数可能是0,1,2,…, 那么其逆序数最多是多少？定义：逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排

列。在全体n≥2级排列中，是 奇排列多还是偶排列多？

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行列式

§2 排列1 i1 i 2 … i n 按任意次 j1 j 2 … j n ,如何计算它的逆序数?( i1 )

问题： 将给定的 n 个自然数序重排，得到排列

计算程序:

计算排在 i1 前面的数字,得到

划 去 i1重复下去 计算排在 i 2前面的数字,得到 ( i 2 ) ( j1 j 2 … j n ) ( i1 ) ( i2 ) … ( i n )

例: 判断排列217986354的奇偶性.

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行列式● 对换

§2 排列

定义：将一个排列中某两个元素的位置互换，而其余的元素不动，就得 到另一个排列，这样的一个变换称为一个对换。

例如：

( 31 )

( 42 )

( 43 )

3421 1423 1243 1234

5

2

1

0

上面的结论是 否具有普遍性？ 定理：对换改变排列的奇偶性。

定理：任意一个n级排列与自然排列，都可经一系列对换互变。推论：任意两个n级排列都可经一系列对换互变。

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行列式

§3

n

级行列式

§3 n 级行列式●

二阶行列式的定义a1 2 a 22 a1 1 a 2 2 a1 2 a 2 1

a1 1 a 21

j1 j 2

( 1)

( j1 j 2 )

a1 j a 2 j1

2

(1)二阶行列式由2项组成； (2)每一项是2个元素的乘积，而且这两个元素位于不同的行和列； (3)任意项中两个元素都含有2个下标，第一个下标表示元素所在的行，

第二个下标表示元素所在的列。当把每一项元素按行指标排成自然序列，则这项元素的列下标所成的排列的奇偶性决定了每一项前面 的符号。

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行列式●

§3

n

级行列式