西南交大《工程数学Ⅰ》1-4次离线作业

工程数学Ⅰ第1次离线作业

三、主观题(共15道小题) 29.

求5元排列52143的逆序数。

解答：

在排列52143中，排在5之后，并小于5的数有4个；排在2之后，并小于2的

数有1个；排在1之后，并小于1的数有0个；排在4之后，并小于4的数有1个。所以

30.

计算行列式

解答：

容易发现D的特点是：每列（行）元素之和都等于6，那么，把二、三、四行同时加

到第一行，并提出第一行的公因子6，便得到

由于上式右端行列式第一行的元素都等于1，那么让二、三、四行都减去第一行得

31. 求行列式

解答：

中元素a和b的代数余子式。

行列式展开方法

=

=

32.

计算行列式

解答：

容易发现D的特点是：每列元素之和都等于6，那么，把二、三、四行同时加到第一行，并提出第一行的公因子6，便得到

由于上式右端行列式第一行的元素都等于1，那么让二、三、四列都减去第一列，第一行就出现了三个零元素，即

33. 设

解答：

， 求

34.

，求

解答：

35.

求矩阵X使之满足

解答：

36. 解矩阵方程

解答：

，其中

首先计算出

，所以A是可逆矩阵。对矩阵（A，B）作初等行变换

所以

所以 秩（A）= 4。

3

7.

解答：

38.

求向量组

解答：

设

39.

求解非齐次线性方程组

解答：

对增广矩阵施行初等行变换化成简单阶梯形矩阵

40.

设

解答：

若

41.

设

，求A的特征值和特征向量。

解答：

42.

求一个正交矩阵P，将对称矩阵

化为对角矩阵。

解答：

43. 已知二次型

，问： 满足什么条件时，二次型

f 是正定的； 满足什么条件时，二次型 f 是负定的。

解答：

二次型 f 的矩阵为

计算 A 的各阶主子式得

工程数学Ⅰ第2次离线作业

三、主观题(共14道小题)

30. 判断（1）

；（2）是否是五阶行列式 D5 中的项。

解答：（1）是；（2）不是；

31.

设

解答：

求

的根。

行列式特点是：每行元素之和都等于 a+b+c+x，那么，把二、三、四列同时加到第

一列，并提出第一列的公因子a+b+c+x，便得到

二、三、四列-a依次减去第一列的-a、-b、-c倍得

32.

计算四阶行列式

解答：

D的第一行元素的代数余子式依次为

由行列式的定义计算得

33.

用克莱姆法则解方程组

解答：

34.

解答：

35.

解答：

36. 用初等行变换把矩阵

解答：

化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。

上面最后一个矩阵就是阶梯形矩阵，对这个阶梯形矩阵再作初等行变换，就可以得到简单阶梯形矩阵，即

37.

讨论方程组

的可解性。解答：

38.

解答：

令

，则

A的阶梯形有零行，所以

向量组线性相关。

39.

求方程组

的一个基础解系并求其通解。

解答：

对方程组的系数矩阵作初等行变换化成简单阶梯形矩阵：

原方程组的一个基础解系。

40.

a、b为何值时，线性方程组

有唯一解，无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解？

解答：

41.

把向量组

解答：

先得出正交向量组