高数A(2)习题课(9)三重积分

课件制作： 课件制作：全志勇 于红香

一、

内容总结

二、

作业选讲

三、

典型例题

四、

课堂练习

一、内容总结1、三重积分的概念 、(1)定义 定义: 定义

∫∫∫ f ( x ,

y , z )dv = lim ∑ f (ξ i , η i , ζ i ) v iλ →0 i =1

n

(2)物理意义 物理意义: 物理意义

M = ∫∫∫ ρ( x , y , z )dv

表示体密度为 ρ = ρ( x, y, z ) 的空间物体 的质量.

2、三重积分的性质 、(1)线性性质： 线性性质： 线性性质

∫∫∫ [αf ( x,

y , z ) ± β g ( x , y , z )]dv = α ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ± β ∫∫∫ g ( x , y , z )dv

(2)可加性：∫∫∫ f ( x , y, z )dv= ∫∫∫ f ( x , y , z )dv + ∫∫∫ f ( x , y , z )dv 可加性： 可加性 = 1 + 2 1 2

(3) 的体积：V = ∫∫∫ dv 的体积：

(4)单调性：若 在上，f ( x , y , z ) ≤ g ( x , y , z ) ,则 单调性： 在上， 单调性

∫∫∫ f ( x ,

y , z )dv ≤ ∫∫∫ g ( x , y , z )dv

(5)估值性质 设 m ≤ f ( x , y , z ) ≤ M , ( x , y , z ) ∈ , 则 估值性质: 估值性质mV ≤ ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ≤ MV

(6)中值定理：设函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 上连续， 是 中值定理： 上连续， 中值定理 V 的体积， 的体积，则在 上至少存在一点 ( ξ , η, ζ ) ,使得

∫∫∫ f ( x ,

y , z )dv = f (ξ, η, ζ ) V

3、三重积分的计算方法 、(1)利用直角坐标计算 利用直角坐标计算

∫∫∫ f ( x ,

y , z )dv = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz

a) “先一后二”法 若D 为 在 xoy 面上的投影区域 先一后二” 先一后二 = {( x, y, z) | z1 ( x, y) ≤ z ≤ z 2 ( x, y), ( x, y) ∈ D}

则

∫∫∫ f ( x ,

y , z )dxdydz =

∫∫ dxdy ∫D

z2 ( x , y ) z1 ( x , y )

f ( x , y , z )dz

b) “先二后一”法 若 = {( x , y, z ) | c1 ≤ z ≤ c 2 , ( x , y ) ∈ D z } 先二后一” 先二后一 其中 Dz 是竖坐标为 z 的平面截 闭区域所得到的一个 平面闭区域， 平面闭区域，则

∫∫∫ f ( x ,

y , z )dxdydz = ∫ dz ∫∫ f ( x , y , z )dxdyc1 Dz

c2

(2)利用柱面坐标计算 利用柱面坐标计算 若 = {(ρ, θ, z ) | z1 (ρ, θ) ≤ z ≤ z 2 (ρ, θ), ρ1 (θ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (θ), α ≤ θ ≤ β} 则 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz = ∫∫∫ f (ρ cos θ, ρ sin θ, z ) ρdrdθdz

= ∫ dθ∫α

β

ρ2 ( θ ) ρ1 ( θ )

dρ∫

z 2 ( ρ ,θ ) z1 ( ρ ,θ )

f (ρ cos θ, ρ sin θ, z ) ρdz

(3)利用球面坐标计算 利用球面坐标计算 若 = {(r , , θ) | r1 ( , θ) ≤ r ≤ r2 ( , θ), 1 (θ) ≤ ≤ 2 (θ), α ≤ θ ≤ β} 则

∫∫∫ f ( x ,

y , z )dxdydz

= ∫∫∫ f ( r sin cos θ, r sin sin θ, r cos ) r 2 sin drd dθ

= ∫ dθ∫α

β

2 (θ) 1 ( θ )

d ∫

r2 ( ,θ ) r1 ( ,θ )

f

(r sin cos θ, r sin sin θ, r cos ) r 2 sin dr

4、三重积分的解题方法 、计算三重积分主要应用直角坐标、 计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标 三种坐标计算. 三种坐标计算 通常要判别被积函数 f ( x, y, z) 和积分区域

所具有的特点 如果被积函数 f ( x, y, z) = g( x2 + y2 + z2 ) 所具有的特点.积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果 的投影是圆域，则利用球面坐标计算； 则可采用先二后一法计算； 被积函数 f ( x, y, z) = g(z) ,则可采用先二后一法计算；如果2 2 被积函数 f ( x, y, z) = g( x + y ),积分区域 为柱或 的投影

是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备， 是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备， 则采用直角坐标计算. 则采用直角坐标计算

二、作业选讲(P72.四). (P72.四).计算三重积分 其中 是由 xOy 平面上曲线 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 z x = 5 所围成的闭区域 . x=x O 提示: 提示 利用柱坐标 y = r cosθ y 5 z = r sinθ x

≤ x ≤5 : 0 ≤ r ≤ 10 0 ≤θ ≤ 2 π1 r2 2

原式 = ∫

2π

0

dθ ∫

10 3

0

250 r dr ∫r2 dx = π 3 2

5

三、典型例题例 1. 设2 2 2

由2

确定 ,

由

x + y + z ≤ R , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 所确定 , 则

C

上半球

(B)

∫∫∫ y dv = 4∫∫∫ 1

y dv

第一卦 限部分

2

z Rxyz dv

(D)

∫∫∫ xyz dv = 4∫∫∫ 1

1 2O y

2

x

例2. 把积分 其中 由曲面 所围成的闭区域 . 提示: 提示 积分域为

化为三次积分, 及平面

:原式 =

O1x2 + y2

1

∫

1

1

dx ∫ 2 d y ∫x

0

f (x, y, z)d z

例3 . 计算积分

其中 是两个球(由作业P71三1修改)

( R > 0 )的公共部分. 用圆锥面 =

zRR 2

解法1 解法1 :利用球面坐标计算.

π

3 两部分 = 1 + 2,其中

将 分成

o

y

3 2 π 2 : 0 ≤ r ≤ R,0 ≤ ≤ ,0 ≤ θ ≤ 2π 3 于是,得

1 : 0 ≤ r ≤ 2 R cos ,

π

≤ ≤

π

,0 ≤ θ ≤ 2π

x

z 2 dxdydz = ∫∫∫ z 2 dxdydz + ∫∫∫ z 2 dxdydz ∫∫∫

=∫

r 2 cos 2 r 2 sin dr 0 0 π 3 2π R 59 5 2 2 2 3 πR + ∫ dθ ∫ d ∫ r cos r sin dr = 0 0 0 480 z2

2π

1

dθ ∫ π d ∫

π

2 R cos

2

解法2:利用柱面坐标计算. 解法2 由于 在 xoy 平面的投影区域为 3R 2 Dxy : x 2 + y 2 ≤ 4 故在柱面坐标下， …… 此处隐藏：2093字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……