2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析(一)

2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析（一）

例1 直线y

1

x 1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°3

2

后得到△COD，抛物线y＝ax＋bx＋c经过A、C、D三点．

(1) 写出点A、B、C、D的坐标；

(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

解析

（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．

2

（2）因为抛物线y＝ax＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以

9a 3b c 0, a 1, 解得 c 3, b 2, a b c 0. c 3.

所以抛物线的解析式为y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4，顶点G的坐标为(1，4)．

（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．

因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)

，那么BQ ． Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况： ①当

2

2

BQ

3 3．解得x 3．所以Q1(3,10)，Q2( 3, 8)． BABQ11111．解得

x ．所以Q3(,2)，Q4( ,0)． BA33333②当

图2 图3

考点伸展

第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG

；二是BQ ．

我们换个思路解答第（3）题：

如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．

通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°． 在Rt△BGH

中，sin 1

，cos 1 ．

BQ

3时，BQ BA

在Rt△BQN中，QN BQ sin 1 3，BN BQ cos 1 9． ①当

当Q在B上方时，Q1(3,10)；当Q在B下方时，Q2( 3, 8)． ②当

BQ111

时，BQ Q3(,2)，Q4( ,0)． BA333

例2

Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数y

k

(k 0)在第一象限内的x

图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．

（1）求m与n的数量关系；

（2）当tan∠A＝

1

时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式； 2

（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P的坐标．

图1

解析

（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y 整理，得n＝2m．

（2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝

4m k,k

的图像上，所以 x 2n k.

1

，2

EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)．

已知△BDE的面积为2，所以

11

BD EH (m 1) 2 2．解得m＝1．因此D(4，1)，22

k

的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式x

E(2，2)，B(4，3)．

因为点D（4，1）在反比例函数y 为y

4． x

, 3 4k b1

设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得k ，

2b 2 2k .

b 1．

因此直线AB的函数解析式为y

1

x 1．

2

图2 图3 图4

（3）如图3，因为直线y

1

x 1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所2

以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况：

①如图3，当

EAEF

．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）． AOFPEAFP

．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）． AOEF②如图4，当

考点伸展

本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个

条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：

第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为y 直线AB为y

12，x

1

x 7．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP 也不可能相似．

2