14实验十四 矩阵的特征值与特征向量,相似变换,二次型

MATLAB高等数学实验

实验十四 矩阵的特征值与特征向量, 相似 变换, 二次型

实验目的 学习利用MATLAB命令求方阵的特征值和 特征向量; 利用特征值求二次型的标准形。

14.1 学习MATLAB命令

命令： [P,X]=eig(A) 输出的X为以特征值为对角线元素的对角阵; P为以相应的特征 向量为列向量的矩阵, 并且有A×P=P×X。在数值运算中, 该 命令求得的每个特征向量都是单位向量, 并且属于同一特征值 的线性无关特征向量已经正交化。 命令： [P,X]=eigs(A) 输出X为以前6个最大特征值为对角线元素的对角阵; P为以相 应的特征向量为列向量的矩阵。 命令： jordan(A) 输出方阵A的Jordan标准形, 输入方阵的元素必须是整数或分 数。 一般情况下, 命令： [P,J]=jordan(A) 输出相似变换矩阵P及Jordan标准形J, 即: P 1 A P J 。

14.2 实验内容

14.2.1 求方阵的特征值与特征向量

1 【例1】求方阵 A 2 3

2 1 3

输入： clear; A=[1,2,3;2,1,3;3,3,6]; v=eig(A) [P,X]=eig(A) 输出为： v= -1.0000 -0.0000 9.0000 P= 0.7071 0.5774 0.4082 -0.7071 0.5774 0.4082 0 -0.5774 0.8165

3 3 的特征值与特征向量。 6

X= -1.0000 0 0 0 -0.0000 0 0 0 9.0000 其中v为特征值向量, P为特征向量矩阵, X为特征值矩阵。 输入： A=sym(A); %作符号运算 v=eig(A) [P,X]=eig(A) %输出的特征向量没有单位化 输出为： v= -1 0 9 P= [ -1, -1, 1/2] [ -1, 1, 1/2] [ 1, 0, 1] X= [ 0, 0, 0] [ 0, -1, 0] [ 0, 0, 9]

1 / 3 【例2】求方阵 A 1 / 5 6

1/3 1 1

1 / 2 1 / 3 的特征值与特征向量。 2

输入： clear; A=[1/3,1/3,-1/2;1/5,1,-1/3;6,1,-2]; [P,X]=eigs(A) 输出为： P= 0.1799 - 0.1922i 0.1799 + 0.1922i -0.0872 0.1161 - 0.0625i 0.1161 + 0.0625i -0.8668 0.9557 0.9557 -0.4910 X= -0.7490 - 1.2719i 0 0 0 -0.7490 + 1.2719i 0 0 0 0.8313 可以看到A有两个复特征值与一个实特征值。属于复特征值的特征向 量也是复数值, 属于实特征值的特征向量是实数值。

2 【例3】已知 x (1,1, 1) 是方阵 A 5 1 a,b及特征向量x所属的特征值。

1 a b

2 3 的一个特征向量, 2

求参数

设特征值为t, 输入： clear; A=sym('[t-2,1,-2;-5,t-a,-3;1,-b,t+2]'); v=[1,1,-1]'; B=A*v; [a,b,t]=solve(B(1), B(2), B(3)) 输出为： a= -3 b= 0 t= -1 即a=-3,b=0时, 向量x=(1,1,-1)是方阵A的属于特征值-1的特征向量。

14.2.2 矩阵的相似变换

若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量, 则A与对角阵相似。实对称阵一 定与对角阵相似, 且存在正交阵 P , 使 P 1 A P 为对角阵。 4 【例4】设方阵A 2 2 1 2 2 1 2 , 2

求一个可逆阵 P , 使 P

1 A P 为对角阵。

解1 用命令[P,X]=eig(A),输入： clear; A=[4,1,1;2,2,2;2,2,2]; A=sym(A); [P,X]=eig(A) %输出的特征向量没有单位化输出为： P= [ 0, -1, 1] [ -1, 1, 1] [ 1, 1, 1] X= [ 0, 0, 0] [ 0, 2, 0] [ 0, 0, 6]

0 1 1 因此, 特征值是0,2,6。特征向量是 1 , 1 与 1 。 1 1 1 1 1 0 矩阵 P 1 1 1 就是要求的相似变换矩阵。为了验证 P 1 A P 1 1 1

为对角

阵, 输入： inv(P)*A*P

输出为： ans = [ 0, 0, 0] [ 0, 2, 0] [ 0, 0, 6] 因此方阵A在相似变换矩阵P的作用下, 可化作对角阵。

解2 直接用jordan命令。 输入： [P,X]=jordan(A) 输出为： P= [ 0, -1, 1] [ -1, 1, 1] [ 1, 1, 1] X= [ 0, 0, 0] [ 0, 2, 0] [ 0, 0, 6]

1 【例5】设方阵 A 0 0

1/ 4 1/ 2 1/ 4

0 0 , 1

求 lim n

A

n

。

先求一可逆阵P及对角阵X, 使 P A P X 。 输入： clear; A=[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]; format rat %有理数形式计算 [P,X]=eig(A) 输出为： P= 1 0 -881/2158 0 0 881/1079 0 1 -881/2158 X= 1 0 0 0 1 0 0 0 1/2

1

再求 A n 的表达式及 lim A 。由于三个特征向量线性无关, 从而A可相似 n 1 对角化, 即 P A P X 。那么 A P X P 1, A n ( P X P 1 ) n P X n P 1,n

lim A P ( lim X ) Pn n n n

1

1 P lim 0 n 0

0 1 0

0 0 1 2n

1 1 P P 0 0

0 1 0

0 1 0 P 0

输入： P*diag([1,1,0])*inv(P) 输出为： ans = 1 1/2 0 0 0 0 0 1/2 1 n 这就是 lim A 。 n

1 【例6】方阵 A 2

0 是否与对角阵相似? 1

只需检查矩阵A的线性无关的特征向量的数目即可。 输入： clear; A=[1,0;2,1]; [P,X]=eigs(A) 输出为： P= 0.0000 0 -1.0000 1.0000 X= 1 0 0 1 可见, 1是二重特征值, 但是两个特征向量线性相关, 因此矩阵A 不与对角阵相似, 虽然A×P=P×A仍然成立。

2 【例7】已知方阵 A 2 3

0 x 1

0 1 2 与B 0 0 1

0 2 0

0 0 相似, y

求x,y。

注意矩阵B是对角阵, 特征值是-1,2,y。矩阵A是分块下三角阵, -2是矩阵A的特征值。矩阵A与B相似, 则y=-2, 且-1,2也是矩 阵A的特征值。 输入： clear; syms x; v=[2-(-2),0,0;-2,2-x,-2;-3,-1,2-1]; det(v) 输出为： ans = -4*x 显然x=0时特征方阵的行列式为0。即x=0, y=-2。