2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测：第二讲一第1课时参数方程的概念、参数方

第二讲 参数方程

一、曲线的参数方程

第1课时 参数方程的概念、参数方程

与普通方程的互化

A 级 基础巩固

一、选择题

1．方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )

A ．(1，1)

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32

D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32

，－12 解析：当θ＝π6时，x ＝32，y ＝32，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫32

，32在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝sin θ

(θ为参数)所表示的曲线上． 答案：C

2．曲线⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t －1与x 轴交点的直角坐标是( ) A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，0)

D ．(±2，0)

解析：设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2，

所以曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2，0)．

答案：C

3．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )

A.⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝t (t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－t (t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－t

(t 为参数) 解析：设(x ，y )为所求轨迹上任一点．

由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得：

(x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2

.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数) 答案：A

4．参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．2x －y ＋4＝0

B ．2x ＋y －4＝0

C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]

D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]

解析：由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0.

故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．

答案：D

5．与参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝21－t

(t 为参数)等价的普通方程为( ) A ．x 2＋y 24＝1

B ．x 2

＋y 24＝1(0≤x ≤1) C ．x 2

＋y 24＝1(0≤y ≤2) D ．x 2＋y 24

＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2) 解析：x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y 24

＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，1－t ≥0

得0≤t ≤1， 从而0≤x ≤1，0≤y ≤2.

答案：D

二、填空题

6．若x ＝cos θ，θ为参数，则曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为______________．

解析：把x ＝cos θ代入曲线x 2＋(y ＋1)2＝1，

得cos 2θ＋(y ＋1)2＝1，

于是(y ＋1)2＝1－cos 2θ＝sin 2θ，即y ＝－1±sin θ.

由于参数θ的任意性，

可取y ＝－1＋sin θ，

因此，曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为

⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ

(θ为参数)． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ

(θ为参数) 7．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨⎧

x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普

通方程为________________．

解析：因为x ＝2＋22t ，所以22t ＝x －2，代入y ＝1＋22

t ， 得y ＝x －1，即x －y －1＝0.

答案：x －y －1＝0

8．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极

轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t

3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝______．

解析：由ρcos θ＝4，知x ＝4.

又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，

所以x 3＝y 2(x ≥0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8，

所以|AB |＝（4－4）2＋（8＋8）2＝16.

答案：16

三、解答题

9．已知曲线C 的参数方程为⎩

⎨⎧x ＝t －1t ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程． 解：由x ＝t －1t

两边平方得x 2＝t ＋1t －2， 又y ＝3⎝ ⎛⎭

⎪⎫t ＋1t ，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6)． 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3

－2， 所以3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．

故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．

10．已知曲线C 的参数方程是⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系；

(2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．

解：(1)把点M 1的坐标(0，1)代入参数方程得

⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1，

解得t ＝0，所以点M 1在曲线C 上． 把点M 2的坐标(5，4)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧5＝3t ，4＝2t 2＋1，

即⎩⎪⎨⎪⎧t ＝53，

t 2＝32，

无解，所以点M 2不在曲线C 上． (2)因为点M 3(6，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1.

解得t ＝2， a ＝9.所以a ＝9.

B 级 能力提升

1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点

( )

A ．(2，3)

B ．(1，5) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 D ．(2，0)

解析：先将P (2cos θ，3sin θ)化为方程为x 24＋y 29

＝1，再将选项代进去，可得到的是(2，0)．

答案：D

2．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α

(α为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是__________________．

解析：曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2－2x －4y ＝0，把ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρ …… 此处隐藏：1225字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……