同济大学2005-2006学年高等数学(B)下期末考试试卷

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。

2005—2006学年第二学期考核试卷（A）

《高等数学B》（下）

一． 简答题（每小题6分，共30分）

1.写出函数f x,y

xy

的定义域，并求 x,ylimf x,y . 0,0

xy 1 1

2z

2.设函数z z x,y 由方程x y z e所确定，求.

x y

z

3.函数z x2 y2 xy在点 1，1 处沿什么方向的方向导数最大？最大方向的方向导数值为多少？

6

6

cosx

4.求 dy dx.

x0y

5.求 x2 y2 xz dS,其中 为圆柱体x2 y2 2被平面z 0和

z 4所割下的部分.

二. 10分 记曲面z x2 y2在点 1，0，1 处的切平面为 ，立体 由曲面z 1 x y 及平面 所围成，求 的体积.

2

2

三.(10分)计算曲面积分

x y dydz 2y z dzdx 3z x dxdy,其中 为上半球面

2

2

2

z x2 y2的上侧.

22

四. 12分 设质点在平面立场F xyi xyj的作用下从原点O

x2y2

沿光滑曲线L移动到椭圆 1上位于第一象限内的点M x0,y0 处.

94

1 试求F所作的功W表达为曲线积分，并证明W与路径无关；

2 当x0,y0分别取何值时，F所作的功最大？

五 10分 将函数f x

x

2

0 x 展开成余弦级数.

narctann 1y

六. 12分 设a0 ,an dxdy n 1,2,3, ,22

41 x1 yD其中D x,y |0 y x,0 x 1 .

1 求出a, n 1,2,3, ;

n

2 求出幂级数 a

n 0

n

x的收敛域及和函数.n

七. 每小题8分，共16分

1.求出椭球面x2 2y2 3z2 21上的点M,使该点处的切平面 x 6y 3z 1

过已知直线L: .

21 2

2.设数列un满足limnun 1.n

1 证明：级数 1 u

n 1

n 1

n

un 1 收敛并求和；

un 1 是条件收敛还是绝对收敛.

2 判定级数 1 u

n 1

n 1

n

解：1n 2x0,4y0,6z0 ,取n x0,2y0,3z0 ,s 2,1, 2 ,

1 n s x0 y0 3z0 0,切平面方程x0x 2y0y 3z0z 21点M 6,3,1 在平面上。6x0 6y0 3z0 21,

x02 2y02 3z02 21,

解得M1 0,3,1 ,M2 4, 1,1 .

1 1

解：2 1 un o , un 0,limun 0,S2n u1 u2 u2 u3 u2n u2n 1 n

n n

u1 u2n 1 u1 n ,S2n 1 S2n (u2n 1 u2n 2) u1, limSn u1.n

2

3

2 limn u

n

n

un 1 2, un un 1 发散，所以 1

n 1

n 1

n 1

u

n

un 1 条件收敛.

n1

或： un Sn u1 un , (uk uk 1) , n .

nk 1