人教A版必修2数学第四章《圆与方程》随堂优化训练课件合集(全章共7课时)

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第四章 4.1 4.1.1

圆与方程 圆的方程 圆的标准方程

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【学习目标】 1.初步理解圆的标准方程的定义. 2.掌握用坐标法求圆的标准方程的过程. 3.掌握圆的标准方程的形式，能通过圆的标准方程确定圆 心的位置和半径的大小. 4.会用待定系数法求圆的标准方程.

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1.圆的标准方程 已知圆心是C(a,b),半径是r,则圆的标准方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 ______________________.

练习 1:圆(x+2)2+(y-3)2=2 的圆心和半径分别是( D ) A.(2,3), 2 C.(2,3),1 B.(-2,-3),2 D.(-2, 3), 2

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2.平面内的点与圆的位置关系 设点 P 到圆心的距离是 d,圆的半径为 r,则点与圆的位置 有如下表所示的对应关系.

位置关系

点在圆外________ d>r

点在圆上 点在圆内________ ________ d<r d=r

d 与 r 的关系

练习2:点P(1,3)与圆x2+y2=4的位置关系是( A )

A.点在圆外C.点在圆上

B.点在圆内D.不确定

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【问题探究】

1.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(a,b,r∈R)表示一个圆吗？为什么？

提示：若 r=0,表示一个点(a,b);若 r≠0,表示以(a,b)为圆心，|r|为半径的圆. 2.求圆的标准方程，一般用什么方法？步骤是怎样的？ 答案：待定系数法.一般步骤为：①根据题意，设所求的圆 的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;②根据已知条件，建立关于 整理后即为所求.

a,b,r 的方程组；③解方程组，并把它们代入所设的方程中去，

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题型 1 求圆的标准方程 【例 1】 根据下列条件求圆的标准方程：

(1)圆心在 A(-4,-3),半径长为 5 ;(2)圆心在 A(-2,6),且过点(6,0); (3)已知两点 A(4,9),B(6,3),以 AB 为直径. 思维突破：确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的 半径.

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解：(1)(x+4)2+(y+3)2=5. (2)因为r2=(-2-6)2+(6-0)2=100, 所以圆的方程为(x+2)2+(y-6)2=100. (3)圆心为AB的中点(5,6),

1 半径 r =4[(4-6)2+(9-3)2]=10,2

所以圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10.

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【变式与拓展】 1. 圆心在 y 轴上，半径为 1 ,且过点(1,2) 的圆的方程为 x2+(y-2)2=1 _______________. 题型 2 点与圆的位置关系

【例2】 已知两点 P(-5,6)和 Q(5,-4),求以 P,Q 为直径端点的圆的标准方程，并判断点 A(2,2),B(1,8),C(6,5)是在 圆上，在圆内，还是在圆外.

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解：由已知条件及圆的性质可知，圆心 M 在直径 PQ 的中 点处，∴圆心 M 的坐标为(0,1), 1 1 半径 r=2|PQ|=2× -5-5 2+ 6+4 2=5 ∴圆的标准方程为 x2+(y-1)2=50. ∵|AM|= 2-0 2+ 2-1 2= 5<r,∴点 A 在圆内. ∵|BM|= 1-0 2+ 8-1 2= 50=r,∴点 B 在圆上. ∵|CM|= 6-0 2+ 5-1 2= 52>r,∴点 C 在圆外. 2.

判断点与圆的位置关系，一般用点到圆心的距离

d 与圆的半径 r

作比较，也可用圆的标准方程来判定.

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【变式与拓展】2.写出以点 A(2,-3)为圆心，5 为半径的圆的标准方程， 并判断点 M(5,-7),N(2,-1)与该圆的位置关系.

解：圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 因为|MA|= 2-5 2+ -3+7 2=5=r, 所以点 M 在圆上. 因为|NA|= 2-2 2+ -3+1 2=2<r, 所以点 N 在圆内.

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题型 3 待定系数法求圆的标准方程 【例 3】 求下列条件所决定的圆的方程： (1)已知圆 C 过两点 A(5,1),B(1,3),圆心在 x 轴上； (2)经过三点 A(1,-1),B(1,4),C(4,-2).

解：(1)设所求圆的圆心为 C(a,0),则圆的方程为(x-a)2+

y2=r2.2 2 2 a-5 +1 =r , 由条件可知： 2 2 2 a - 1 + 3 = r ,

a=2, ∴ 2 r =10.

∴所求圆的方程是(x-2)2+y2=10.

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(2)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 将点 A,B,C 三点坐标代入，得 7 a= , 2 3 ∴ b=2, 5 2 r= 2 .

1-a 2+ -1-b 2=r2, 1-a 2+ 4-b 2=r2, 4-a 2+ -2-b 2=r2,

7 2 3 2 25 ∴所求圆的方程为 x-2 + y-2 = 2 .

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确定圆的方程的主要方法是待定系数法，其方 法和步骤如下： ①根据题意，设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; ②根据已知条件，建立关于 a,b,r 的方程组； ③解方程组，求出 a,b,r 的值，即可得圆的方程.

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【变式与拓展】 3.求过两点 A(1,4)与 B(3,2),且圆心在直线 y=0 上的圆的 标准方程.解：∵圆过 A,B 两点， ∴圆心在线段 AB 的垂直平分线上. 4-2 由题意，得 kAB= =-1,AB 的中点 …… 此处隐藏：1288字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……