§2无穷积分的性质与收敛判别

§2 无穷积分的性质与收敛判别一、无穷积分的性质

二、比较判别法 三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法

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一、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分 F(u)=u a a

f x dx 收敛与否， 取决于函数

f x dx 在u→+∞ 时是否存在极限. 因此由函数极

限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则.定理11.1 无穷积分收敛的充要条件是： 任给 >0,存在 G≥a,只要u1、u2>G,便有

u2

a

f

x dx a

u1

f

x dx

u2 u1

f

x dx

.

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柯西收敛准则定理3.11 设 f (x) 在 的某个邻域 { x | x M }上 有定义, 则极限 lim f ( x ) 存在的充要条件是: 任x

给 0, 存在 X ( M ), 对于任意 x1 , x2 X , 均有| f ( x1 ) f ( x2 ) | .

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性质1 (线性性质) 若 f1 x dx与 a

a

f 2 x dx 都收敛，k1、k2

为任意常数，则 a k1 f1 x k2 f 2 x dx k1 a f1 x dx k2 a f 2 x dx 也收敛，且

a

k1 f1 x k2 f 2 x dx k1 a f1 x dx k2 a f 2 x dx

.

1

性质2 若f在任何有限区间[a,u]上可积，a<b,则

a

f x dx

与 b f x dx 同敛态(即同时收敛或同时发散),且有

a

f x dx f x dx b a

b

f x dx

(2)

其中右边第一项是定积分. 所以 a f x dx 与 b f x dx 同敛态(即同时收敛或同时 发散),且有

a

f x dx f x dx b a

b

f x dx .首页

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说明: (1) 性质2相当于定积分的积分区间可加性; (2) 由性质2及无穷积分的收敛定义可推出 a f x dx 收敛的另一充要条件: 任给 >0,存在G≥a,当u>G时， 总有

u

f x dx u

f x dx 事实上， a f x dx 收敛 J= lim a u

0 , G a, 当 u G 时, u f x dx J a

0 , G a ,当

u G

时, a f x dx ( a f x dx uu u

f x dx )

0 , G a , 当 u G 时, u f x dx

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性质3 若f 在任何有限区间[a,u] 上可积，且有 a f x dx 收 敛，则

a

f x dx 亦必收敛，并有

a

f x dx

a

f x dx .

(3)

当 a f x dx 收敛时， 称 a f x dx 为绝对收敛, 称收敛而不绝 对收敛者为条件收敛. 绝对收敛 收敛. 但其逆命题

一般不成立， 性质3指出： 今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例4中 当0<p≤1时

1

sin x dx 条件收敛). p x

二、比较判别法设f是定义在[a,+∞)上的非负函数，且在任何有限区间上 可积，由于 a f x dx 关于上限u是单调递增的， 因此u

收敛的充要条件是

f x dxu a

a

f x dx 存在上界. 根据这一分析，便立

即导出下述比较判别法： 设定义在[a,+∞]上的两个非负函数f 和g 定理11.2(比较法则) 且满足 都在任何有限区间[a,u]上可积，f ( x) g ( x), x [a, )

则当 g( x )dx 收敛时， a f x dx 必收敛(或者，当 a a 发散时， a g( x)dx 发散).

f x dx

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例1 讨论解 由于

0

sin x dx 的收敛性 2 1 x

1 sin x , 2 2 1 x 1 x

x [0, ) 以及

0

dx 收敛 1 x2 2

(§1例4), 根据比较法则， 0

sin x dx 为绝对收敛. 2 1 x

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上述比较法则的极限形式如下推论1 若f 和g都在任何[a,u]上可积，g(x)>0,且 lim x g x 则有 (ⅰ)当0<c<+∞时， a f x dx 与

f x

c

,

a

g x dx 同敛态；

由 a g x dx收敛可推知 a (ⅱ)当c=0时，

f x dx 也收敛； f x dx 也发散.

由 a g x dx 发散可推知 a (ⅲ)当c=+∞时，

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例2 讨论 1

3

1 x 4 3x3 5 x 2 2 x 1

dx的敛散性.

推论2

设 f 定义于 [a, ) (a>0), 且在任何有限区间[a,u]

上可积，则有：1 f x (ⅰ)当 x p

,x∈[a, ) ,且p>1时 a f x dx 收敛；,x∈ [a, ) ,且p≤1时

(ⅱ)当 推论3

1 f x p x

a

f x dx 发散.

设f定义于 [a, ) ,在任何有限区间[a,u]上可积，且p x lim f x x

则有： (ⅰ)当p>1,0≤ ≤+∞时， a f x dx 收敛； (ⅱ)当p≤1,0< <+∞时， a f x dx 发散.首页

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例3

讨论下列无穷限积分的收敛性： 1)

1

; x e x dx

2)

x2 x5 1

0

dx .

解 本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛 是同一回事. 1)由于对任何实数 都有2 x x x e lim x

x 2 lim x 0 x e

=0),推知1)对任何实数 因此根据上述推论3(p=2, 都是收敛的.

2)由于 limx x

1 2

x2 x5

因此根据上述推论3(p= =1 , 1

1 2

=1), ,

推知2)是发散的.首页

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练习

讨论下列无穷限积分的收敛性：

1) 0

3

14

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