数值分析实验报告

武汉理工大学数值分析实验报告

武汉理工大学数值分析实验报告

————软件工程试点班, 桂江亨

实验一：用牛顿法求解函数的根

1. 实验分析与设计

用计算机编程实现牛顿迭代法求解函数的根。

2. 实验基本原理与设计

牛顿迭代法公式：

{ 0=C(C为固定的 值) +1= – ( ) ＇( )牛顿迭代法是收敛的，而且收敛比较快。

由上面的公式可知，只要给出的精度e，就可以作为递归终止的条件。

3. 主要仪器及耗材

Visual Studio 2010,电脑一台。

4. 调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等） 由于采用递归方法，程序显得清晰简洁。起初我输入X的值为1.0，结果输出一个无效的值，后来才发现原来函数在1.0处的导数刚好等于零。之后分别输入了几组不同的初始值X和控制精度e，结果分别如下：

X = 1.1, e = 0.0001, result = 1.53209

X = 1.2, e = 0.0001, result = 1.53209

X = 1.3, e = 0.0001, result = 1.53209

X = 1.532, e = 0.0001, result = 1.53209

X = 1.1 e = 0.000001, result = 1.53209

X = 1.2 e = 0.000001, result = 1.53209

X = 1.2 e = 0.000001, result = 1.53209

下面是源代码： #include<iostream>

using namespace std;

double fn( double x )

{ return x * x * x - 3 * x + 1; }

double derivedFn( double x )

{ return 3 * x * x - 3; }

double recursionFn( double x )

{ return x - fn( x ) / derivedFn( x ); }

int main()

{

double x, x1, e;

武汉理工大学数值分析实验报告

} cout<<"请输入初始值：x，控制精度：e"<<endl; cin>>x>>e; x1 = recursionFn( x ); while( fabs( x - x1 ) > e ) { x = x1; x1 = recursionFn( x ); } cout<<"方程的近似解为"<<x1<<endl; getchar(); getchar(); return 0;

5. 实验结果及分析

本次试验比较简单，编码的时候并没有产生错误。牛顿法求解函数的根确实具有很好的收敛性，在几组不同的初值和控制精度下都得到了比较精确的计算结果。

6. 实验小结、建议及体会

本次试验用计算机编程实现了牛顿法求解函数的根，得到了比较好的结果。

实验二：二分法求函数的近似根

1. 实验内容描述（问题描述）

通过计算机编程实现二分法求解函数的根，加深对二分法的理解。

2. 实验基本原理与设计

给定一个区间[a, b]，在该区间内函数存在唯一一个根，通过取[a, b]的中点，来不断缩小根的求解范围，直到到达合理的精度。

要通过二分将连续的区间分成很小的片段需要多次分割，因此二分法求解收敛较慢，一般用于求根的粗略解（范围）。

3. 主要仪器及耗材

Visual Studio 2010，电脑一台。

4. 调试过程

二分法的思维比较简单，编程过程中还是犯了一个比较小的错误。终止条件没有选好，忘记取绝对值，导致程序一直运行没有终止。

下面是源代码：

#include<iostream>

using namespace std;

double fn( double x )

{ return x * x * x - 3 * x + 1; }

int main()

{

double a, b, e, x, t;

武汉理工大学数值分析实验报告

cout<<"请输入求根区间[a, b]，控制精度e"<<endl;

cin>>a>>b>>e;

x = ( a + b ) / 2;

t = fn( x );

while( fabs( t ) > e )

{

if( t > 0 )

b = x;

else

a = x;

x = ( a + b ) / 2;

t = fn( x );

}

cout<<"牛顿迭代法求得的近似解为："<<x<<endl;

getchar(); getchar();

return 0;

}

5. 实验结果及分析

通过输入一组数据来检验该算法的正确性，下面是输入的数据：

1.0 2.0 0.0001 1.5321

二分法能够很好的求得函数的近似解，而且思路简单，便于实现，但收敛速度慢（这一点可以从上一个实验的结果看出，牛顿迭代法比二分法得到的解的精度更高）。

实验三：自适应积分

1. 实验内容描述（问题域描述）

在很多情况下需要对某个函数求积分，但其原函数过于复杂很难甚至根本无法直接求得，则只能通过计算机来分段近似积分了。

这次试验将通过计算机编程来实现自适应积分球函数的积分。

2. 实验原理与设计（包括实验方案设计，实验手段的确定，实验步骤等，用硬件逻辑或算法描述）

自适应积分是通过将一个区间等分成两段，分别用三次的辛普森公式近似求得积分。如果某一段积分误差足够小则停止积分，否则的话，将该段区间等分成两段再次积分，直到误差满足精度为止。

在这个递归的过程中，误差是很重要的量。有时候函数在某一区间很平稳而在另一区间变化幅度很大。变化平稳的区间只要几次分段积分就可以满足精度要求，而变化幅度很大的区间需要逐次分段积分知道满足精度要求。

3. 主要耗材及仪器

Visual Studio 2010, 电脑一台

4. 调试过程

本次试验编码过程中并没有遇到什么困单，调试时也没有发现什么问题，一次性成功。

武汉理工大学数值分析实验报告…… 此处隐藏：3468字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……