用赋值法求解函数关系

函数

用赋值法求解函数关系

依据函数y=f(x)的限定条件和关系式求函数关系y=f(x)．

一、赋值代换

例1 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x)不恒为零，对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)=2[f(x1)＋f(x2)]．求证：f(x)是偶函数

分析：若有f(－x)=f(x)(x∈R)，则f(x)为偶函数． 观察条件f(x1＋x2)＋f(x1－x2)=2[f(x1)＋f(x2)]

令x1=0，x2=x则f(x)＋f(－x)=2[f(0)＋f(x)]*

令x2=0，则f(x1)＋f(x1)=2[f(x1)＋f(0)]

∴f(0)=0把f(0)=0代入(＊)有f(x)=f(－x)问题得证． 赋值代换应注意：(1)所赋自变量x之特殊值必须在函数的定义域内；(2)应观察函数式的特点，确定赋什么值．

例2 设f(x)是(0，1)上的实函数，如果满足：1)对于任意x∈(0，1)，f(x)＞0；

分析：∵x，y∈(0，1)，(1－x)，(1－y)∈(0，1)由题设知f(y)＞0，f(1－y)＞0，故有f(x)f(1－y)＋f(y)f(1－

x)≤2f(y)f(1－y)，观察此不等式，如令x=1－y ∈(0，1)，则有： f2(x)－2f(x)f(1－x)＋f2(1－x)≤0

∴ f(x)≤f(1－x)即f(x)≤f(y)