用赋值法求解函数关系(2)

函数

反之，令y=1－x则有f(y)≤f(x)

二、赋值递推

例3 已知函数f(x)是定义域为R的函数，且满足f(1)=0，f(a＋b)＋f(a－b)=2f(a)f(b)．a，b∈R，求证f(x)是以4为周期的函数．

分析：要证f(x)以4为周期，即要有f(x＋4)=f(x)，(x∈R)． 观察条件f(a＋b)＋f(a－b)=2f(a)f(b)及f(1)=0．

令 a=x，b=1则f(x＋1)＋f(x－1)=0即f(x＋1)=－f(x－1)．以x＋3代x，再递推，f(x＋4)=－f(x＋2)=－f[(x＋1)＋1]=－[－f(x)]=f(x)，问题得证．

赋值递推应注意：在赋值代换的基础上构成函数递推关系式，然后递椎即得．当然，有时需要构成多个递推关系式．

例4 函数f(x)定义在实数集上，并满足如下条件：对于任意x∈R，有f(2＋x)=f(2－x)且f(7＋x)=f(7－x)，若f(0)=0，问f(x)=0在[－100，100]上至少有几个根？

分析：由条件f(2＋x)=f(2－x)，以x－2代x得：f(x)=f(4－x)(1)；再由条件f(7＋x)=f(7－x) 递推f(4－x)=f[7－(3＋x)]=f[7＋(3＋x)]=f(x＋10)，则f(x＋10)=f(x)(2)，即f(x)是以10为周期的函数．在(1)、(2)中令x=0，有f(4)=f(0)=0，

f(10)=f(0)=0．即0，4，10均为f(x)=0的根；由周期性知10k(－10≤k≤10)，10k＋4(－10≤k≤9)(k∈Z)都是f(x)=0的根．因此f(x)=0在[－100，100]上至少有41个根．

三、赋值讨论(比较)

例5 已知f：[0，1]→

＋x2≤1时，f(x1＋x2)≥

f(x1)＋f(x2)，求f(x)的最大值． ．且f(1)=a，x1、x2∈[0，1]，x1