二项式定理-计数原理 2011高考一轮数学精品课件

二项式定理-计数原理

学案3

二项式定理

二项式定理-计数原理

1.二项式定理的内容0 (a+b)n= Cnan + C1 an-1b1 + …+ Ck an-k bk + …+ Cnbn (n ∈N*) . n n n

右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ，其中的系 数 C r (r=0,1,…,n)叫做展开式的 二项式系数 ，

C r an-rbr叫做二项展开式的 通项 ，记 式中的第r+1项 n Cr a n - r b r 作Tr+1= (其中0≤r≤n,r∈N,n∈N*). n

n

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2.二项式系数的性质

(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系

Cm = Cn - m 数相等，即 n n

.n - k +1

(2)增减性与最大值由Ck = Ck -1 · 知，当k< n n k n +1 时，二项式系数是逐渐的 增大 ，由对称性知它的 2 减小 ，且在中间取最大值. 后半部分是逐渐的 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时， 中间的两项Cn , Cnn-1 2 n+1 2

相等，且同时取得最大值.0 1 n

(3)各二项式系数的和为2n,即 Cn + Cn + …+ Cn =2n.

(4)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 C0 + C2 + …= C4 + C3 + …. n n n n 返回目录

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考点一 求二次展开式的特定项(x (1) 1 x )8的展开式中x5的系数为

.

(2)若在(1+ax)5的展开式中x3的系数为-80,则a=【分析】由通项公式列方程可得.

.

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【解析】(1)二项展开式的通项为

Tr +1 = Cr x 8-r ·(-x ) = (-1) r ·C r ·x 8 8令83 r 2

-

1 2 r

8-

3r 2

=5,则r=2,

∴T3=(-1)2· 8 · 5=28x5, C2 x ∴x5的系数为28.

(2)在二项展开式中通项公式Tr+1= Cr (ax)r 5= Cr · r· r, a x 53 令r=3,得x3的系数: C 5· 3=-80, a

∴a3=-8,∴a=-2.

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【评析】 (1)二项展开式的通项公式反映出展 开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能 运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数 或指数. (2)求指定项的系数主要通过二项式定理的通 项公式列方程求得，考查计算能力.

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*对应演练*1 n 若(x+ ) 展开式的二项式系数之和为64,则展开式的 x

常数项为( B )A.10 B.20 C.30 D.120

B(由展开式的二项式系数之和为64,得2n=64,得n=6,

则展开式中的第r+1项Tr+1= C rx6-r(x-1)r= C rx6-2r, 6 6 令6-2r=0,得r=3.3 则展开式中的常数项为T4= C 6 =20.

故应选B.) 返回目录

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考点二 增减性与最值问题 (1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求 展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 【分析】根据条件可求出n;再根据n的奇偶性， 确定二项式系数最大的项；系数最大的项则由不等式 组确定.

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5 6 【解析】T6= C n (2x)5,T7= C n (2x)6, 6 2 依题意有 C 5 · 5= C n · 6 2 n=8. n

∴(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为 T5= C 4 (2x)4=1 120x4, 8 设第r+1项系数最大,则有 2 ·2 Cr · r≥ Cr -1 r-1 8 8

{

Cr · r≥ Cr +1 r+1 ·2 8 2 8

 

{

8!·2 8! ≥ r! (8 - r) (r - 1)! (8 -

r + 1)! 8! 8!·2 ≥ r! (8 - r)! (r + 1)! (8 - r - 1)

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{

2(8-r+1)≥r

r+1≥2(8-r)

{

r≤6

r≥5

5≤r≤6.

又∵r∈N,∴r=5或r=6, ∴系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.

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【评析】①求二项式系数最大的项，要根据二项 式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，

n为偶数时中间一项的二项式系数最大.②求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据 各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、 解不等式组的方法.

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*对应演练*在(3x-2y)20的展开式中,求:(1) 二项式系数最大的项; (2) 系数绝对值最大的项; (3) 系数最大的项.

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(1)二项式系数最大的项是第11项,T11= C10 310(-2)10x10y10 20= C 20 610x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第r+1项, 于是10

化简得 解得 所以r=8.

{ {

1 3 2 2 C r · 20-r· r≥ Cr +·319-r· r+1 20 20 1 C r · 20-r· r≥ Cr +·321-r· r-1, 2 2 20 3 20

3(r+1)≥2(20-r)2(21-r)≥3r,2 8 . 5

2 7 ≤r≤ 5

即T9= C 8 312· 8· 12y8是系数绝对值最大的项. 2 x 20 返回目录

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(3)由于系数为正的项为奇数项,故可设第2r-1项系数 最大,于是

{

3 2 2 C2r-2· 22-2r· 2r-2≥ C 2r-4 ·324-2r· 2r-4 20 3 2 2 C 2r- 2· 22-2r· 2r-2≥ C 2r ·320-2r· 2r, 20 20

化简得

{

10r2+143r-1 077≤010r2+163r-924≥0.

解之得r=5,即2×5-1=9项系数最大. T9= C 8 · 12· 8· 12y8. 3 2 x 20

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考点三 利用赋值法求二项式系数和的有关问题 设(2- 3x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列 各式的值： (1)a0; (2)a1+a2+…+a100; (3)a1+a3+a5+…+a99; (4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2. 【分析】利用二项式系数的性质.

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【解析】(1)由(2- 3x)100展开式中的 …… 此处隐藏：881字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……