数值计算方法试卷九A+答案

数值分析

数值计算方法试卷九 A（闭卷）

一、 填空题（共48分，每小题4分）

1. 数值方法中需要考虑的误差为

2. 若yn=2n,则Δyn=, yn=。 3. 辛普森公式的代数精度为。 4. 函数f(x)的线性插值余项表达式为

5. 若非线性方程f(x)=0可以表成x= (x)，用简单迭代法求根，那么 (x)满足 ，近似根序列x1,x2,L,xk,L一定收敛。 6. 取X(0)=(1，1，1)T用Gauss-Seidel方法求解方程组

4x1+x2 x3=5

2x1+5x2+2x3= 4 x+x+3x=3

23 1

迭代一次所得结果为：X(1) )T。 7. 用列主元素消去法求解线性方程组

4x1 x2+x3=5

18x1+3x2 x3= 15 x+x+x=6

23 1

第二次所选择的主元素的值为 。

8.运用梯形公式和Simpson公式，计算积分

∫

10

x3dx,其结果分别为。

9.设方程f(x)=0的有根区间为[a,b]，使用二分法时，误差限为xk+1 x*≤

(其中xk+1=

ak+bk

)。 2

数值分析

y′= y y3x

10.用改进的欧拉方法求解初值问题 ，取步长h=0.2，则

y(1)=1

y(1.2)≈

11.计算f=(2 1),取2≈1.4，利用算式

6

1(2+1)

6

，(3 22) ，

3

1(3+22)

3

，

99 702计算，得到的结果最好的算式为。

12.由序列{1,x,L,x,L}正交化得到的Chebyshev多项式的权函数为，区间

为 。 二、（12分）

已知函数表

n

x

1 3

10

2 4

f(x)

（1）给出Lagrange二次插值多项式，并求f(0)的近似值；

（2）给出均差意义下的Newton二次插值多项式，并求f(0)的近似值； （3）给出离散数据的线性拟合多项式，并求f(0)的近似值。 三、（15分）

1

0

用矩阵的直接三角分解法解方程组

1 0

五、（15分）

设a>0，给出用牛顿迭代法计算计算

1212040

0 x1 5 1 x2 3

=

3 x3 17 3 x4 7

1

的公式，并根据初值x0=1.2345/2=0.61725来a

1

的值。（要求迭代3次）

1.2345

六、（10分）

数值分析

2xy

y'=1

用欧拉预—校公式求解初值问题 1+x2

y(0)=0

要求取步长h=0.5。

0≤x≤1

数值计算方法试卷九A参考答案

一、填空题（共48分，每小题4分） 1. 截断误差，舍入误差 2. 2，2 3. 3 4. 5.

n

n

f"(ξ)

ω2(x)2!

ξ∈(x0,x1)

'(x)<1

6. 5/4, -17/10, 23/20 7. 7/6

8. 0.5，0.5 9. (b-a)/2k+1 10. 0.71408 11.

1(3+22)1 x

2

3

12.

，[ 1,1]

二、（12分）

解：先作插值多项式P(x)，用P(x)≈f(x)，求P(0) (1)

数值分析

L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2

=

(x x0)(x x2)(x x1)(x x2)

f(x0)+f(x1)

(x1 x0)(x1 x2)(x0 x1)(x0 x2)

+

(x x0)(x x1)

f(x2)

(x2 x0)(x2 x1)

(x 1)(x 2)(x+1)(x 2)(x+1)(x 1)

( 3)+.0+.4=

( 1 1)( 1 2)(1+1)(1 2)(2+1)(2 1)14

= (x 1)(x 2)+(x+1)(x 1)

23537=x2+x 623

147

.2+( 1)= 233

f(0)≈L2(0)= (2) 用Newton二次插值

f[x0,x1]=f[x1,x2]=

f(x0) f(x1) 3 0 33

=== 1 1 22x0 x1f(x1) f(x2)0 4 4===4

11 2x1 x2

3

4

f[x0,x1] f[x1,x2]25

==f[x0,x1,x2]=

1 26x0 x2

P2(x)=f(x0)+f[x0,x1](x x0)+f[x0,x1,x2](x x0)(x x1)

35537

(x+1)+(x+1)(x 1)=x2+x 26623

357

f(0)≈P2(0)= 3+ =

263

= 3+

(3) 设拟合多项式为P1(x)=a0+a1x 则由法方程ATAX＝ATY可得：

1 1 3

111 a0 = 111 0

11 112 a 112

12 1 4

32 a0 1 831

=整理可得： 解之得： ,a= a=01 a 11 26714 1

则P1(x)=

8831

+x，f(0)≈P1(0) 7147

数值分析

三、（15分）

解：设

1 0

1 0

01212040

0 1

1 l211=

3 l31l32 3 l41l42

1l43

u11u12

u22

1

u13

u23u33

u14 u24

u34 u44

由矩阵乘法可逐行、逐列分别求出uij,lij ：

1

l21 l 31 l 41

1l32l42

1l43

1 01 = 121 1 0101

u11

u12u22

u13u23u33

u14 1020 u24 101

= u34 21 u44 2

解三角方程

y1 5 1

y2 3 01

121 y = 17

3

0101 y 7

4

得 y1=5

,

y2=3,y3=6,y4=4

再解三角方程组

1020 x1 5

101 x2 3

=

21 x3 6

2 x4 4

得 x4=2

所以方程组的解为

,x3=2,x2=1,x1=1

X=(1,1,2,2)T

四、（15分）

解 设方程f(x)=

11

a=0,f′(x)= 2 x

牛顿迭代： xk+1=xk

f(xk)

=xk(2 axk)

k

数值分析

取 x0=1.2345/2=0.61725，下表是迭代3次的计算结果：

0.61725 0.76416 0.80745 0.81004

五、（10分） 解：

n+1=yn+hf(xn,yn)

欧拉预校公式为： h

=++yy[f(x,y)f(x,)] n+1nnnn+1n+1 2

将f(x)=1

2xy

，h=0.5带入上式，可得 2

1+x

xn

y=+ (0.5yn ) n+1n2 1+xn

xnxn+1~

yn+1=yn+0.5[1 yn yn+1] 22 1+xn1+xn+1

由y0=0可得：

~y1=0.500000,~y2=0.74000,

y(0.5)≈y1=0.400000； y(1)≈y2=0.635000