2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第45--阅读理解型

2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编

第45章 阅读理解型

1. (2011江苏南京，28，11分)

问题情境

已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

数学模型

设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y 2(x

ax

)(x＞0)．

探索研究

⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y x

① 填写下表，画出函数的图象：

1x

(x＞0)的图象性质．

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③在求二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y x

1x

2

(x＞0)的最小值．

解决问题

⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 【答案】解：⑴函数y x

1x

174

，

103

，

52

，2，

52

，

103

，

174

．

(x 0)的图象如图．

②本题答案不唯一，下列解法供参考．

当0 x 1时，y随x增大而减小；当x 1时,y随x增大而增大；当x 1时函数

y x

1x

(x 0)的最小值为2．

1x

③y x

= 2

2

= 2

2

= 2

2

=0，即x 1时，函数y x

1x

(x 0)的最小值为2．

⑵

为[来源:Z|xx|http://www.77cn.com.cn]

2. （2011江苏南通，27，12分）（本小题满分12分） 已知A(1，0)， B(0,－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0），经过其中三个点.

2

（1） 求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)＋k（a＞0）上； （2） 点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上吗？为什么？

（3） 求a和k的 值.

【答案】（1）证明：将C，E两点的坐标代入y＝a (x－1)＋k（a＞0）得，

4a k 2

，解得a＝0，这与条件a＞0不符，

9a k 2

2

∴C，E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上.

（2）【法一】∵A、C、D三点共线（如下图），[来源:学&科&网

Z&X&X&K]

2

∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y＝a (x－1)＋k（a＞0）上.[来源:Z§xx§http://www.77cn.com.cn] ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能： ①A、B、C； ②A、B、E；

③A、B、D；

④A、D、E；[来源:学科网]

⑤B、C、D； ⑥B、D、E.

将①、②、③、④四种情况（都含A点）的三点坐标分别代入y＝a (x－1)2＋k（a＞0），解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解. 所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上.

【法二】∵抛物线y＝a (x－1)＋k（a＞0）的顶点为（1，k）

假设抛物线过A(1，0)，则点A必为抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中的三点，所以必过x轴上方的另外两点C、E，这与（1）矛盾，所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上. （3）Ⅰ.当抛物线经过（2）中⑤B、C、D三点时，则

a k 1 a 1

，解得

4a k 2 k 2

3

a 8

三点时，同法可求：

k 11 8

2

Ⅱ. 当抛物线经过（2）中⑥B、D、E .

3

a a 1 8

∴ 或 k 2 k 11

8

.

3. （2011四川凉山州，28，12分）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）

2

两点，且x1 x2，与y轴交于点C 0, 4 ，其中x1，x2是方程x 4x 12 0的两个根。

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；

（3）点D 4,k 在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，

使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。

28题图

【答案】

（1）∵x2 4x 12 0，∴x1 2，x2 6。

∴A( 2,0)，B(6,0)。

又∵抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y a(x 2)(x 6)，将点C

的坐标代入，求得a

13

。

13x

2

3

（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH x轴于点H（如图（1））。

∴抛物线的解析式为y

4

x 4。

∵点A的坐标为（ 2，0），点B的坐标为（6，0）， ∴AB 8，AM m 2。

∵MN BC，∴△MN∥△ABC。 ∴

NHCO

AMAB

，∴

NH4

m 2812

，∴NH

12

m 22

。

∴S△CMN S△ACM S△AMN

12

(m 2)(4 14

2

AM CO

2

AM NH

m 22

)

14

m m 3

(m 2) 4。

∴当m 2时，S△CMN有最大值4。 此时，点M的坐标为（2，0）。 （3）∵点D（4，k）在抛物线y

13x

2

43

x 4上，

∴当x 4时，k 4，

∴点D的坐标是（4， 4）。 ① 如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF

DE，

∵D（4， 4），∴错误！链接无效。DE 4。[来源:http://www.77cn.com.cn] ∴F1( 6,0)，F2(2,0)。

② 如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F(n,0)， 则平行四边形的对称中心为（

n 22

，0）。

∴E 的坐标为（n 6，4）。 把E （n 6，4）代入y 解得

n 8 。

F3(8

0)，F4(8 0)。

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