2、1离散型随机变量及其分布列

莱阳市第九中学 数学组

学习目标：1. 理解离散型随机变量及其分布列的概念与性 质 2. 会求出某些简单的离散型随机的分布列

3、理解两点分布何超几何分布及其推导过程， 并能简单的应用

一、讨论及要求(约10分钟) (一)重点讨论的问题：1、任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？随机 变量的定义? 2、随机变量与函数有何区别与联系？ 3、什么是离散型随机变量？ 4、什么是离散型随机变量的分布列？ 求分布列的步骤？ 3、两种特殊的分布？

(二)讨论要求： (1)小组内先集中讨论，再组内一对一讨论，小 组长注意控制讨论节奏，及时安排展示与点评。 (2)力争全部达成目标，且多拓展,注重方法总结， 力争全部掌握.

引例：(1)抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？ 探究一：能否把 (2)姚明罚球 2次有可能得到的分数有几种情况？ 掷硬币的结果也 正面向上， X =1,表 0 分 ， 1 分 ， 2 分 用数字来表示呢？ 示反面向上”可以，用“X=0,表示

1,2,3,4,5,6

(3)抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？

正面向上，反面向上思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一 种情况吗？ 分析：不行，虽然我们能够事先知道随机试验可能出现 的所有结果，但在一般情况下，试验的结果是随机出现 的。

探究一、随机变量的概念：在前面的例子中，我们把随机试验的每一个结果都用 一个确定的数字来表示，这样试验结果的变化就可看成是 这些数字的变化。 若把这些数字当做某个变量的取值，则这个变量就叫 做随机变量，常用X、Y、x、h 来表示。注意：有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但还是 “X=0,表示正面向上，X =1,表示反面向上”

可以用数量来表达， 如在掷硬币的试验中， 我们可以定义：

探究二、随机变量与函数的区别与联系按照我们的定义，所谓的随机变量，就是随机试验 的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么，随机变量 与函数有类似的地方吗？ 随机变量是试验结果与实数的一种对应关系，而 函数是实数与实数的一种对应关系，它们都是一种映射. 在这两种映射之间， 试验结果的范围相当于函数的定义域， 随机变量的取值结果相当于函数的值域。 所以我们也把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。

例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球，若从中任取3个， 则其中所含白球的个数x 就是一个随机变量，求x 的取值 范围，并说明x 的不同取值所表示的事件。

解： x 的取值范围是0,1,2,3 ,其中{x =0}表示的事件是“取出0个白球，3个黑球”; {x =1}表示的事件是

“取出1个白球，2个黑球”; {x =2}表示的事件是“取出2个白球，1个黑球”; {x =3}表示的事件是“取出3个白球，0个黑球”;

变题：{x < 3} 在这里又表示什么事件呢？

“取出的3个球中，白球不超过2个”

写出下列各随机变量可能的取值，并说明它们各自 所表示的随机试验的结果：(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张， 被取出的卡片的号数x ;(X=1、2、3、· · · 、10) (2)抛掷两个骰子，所得点数之和Y; (Y=2、3、· · · 、12)

(3)某品牌的电灯泡的寿命X; [0,+∞) (4)某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场任意一棵树木的高度x.

[0.5,30]

思考：前两个随机变量与后两个有什么区别？

探究三：随机变量的分类：1、离散型随机变量:如果可以按一定次序，把随机变量可 能取的值一一列出。 (如掷骰子的结果，取卡片次数等等) 2、连续型随机变量:若随机变量可以取某个区间内的一切 值。(如灯泡的寿命，树木的高度等等) 注意： (1)随机变量不止两种，我们只研究离散型随机变量； (2)变量离散与否与变量的选取有关； 比如：对灯泡的寿命问题，可定义如下离散型随机变量

0, 寿命 1000小时 Y 1, 寿命 1000小时

下列试验的结果能否用离散型随机变量表示？ (1)已知在从汕头到广州的铁道线上，每隔50米有一个电线铁站，这些电线铁站的编号；

(2)任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与规定量之差；

(3)某城市1天之内的温度； (4)某车站1小时内旅客流动的人数； (5)连续不断地投篮，第一次投中需要的投篮次数. (6)在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中，某同学可能取得的等级。

若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数， 请把X取不同值的概率填入下表，并求判断下列事件发生 的概率是多少？ (1){X是偶数}; (2) {X<3};

XP

1 1 6

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

6 1 6

1 解：P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6) 2 1 P(X<3)=P(X=1)+P(X=2) 3

探究四：离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为：

X 取每一个xi (i=1,2,…,n) 的概率P (X=xi )=Pi,则称

x1,x2,…,xi,…,xn

表：

X

x1P1

x2P2

…

xiPi

…

P

…

…

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列. 有时为了表达简单，也用等式 P(X=xi)=Pi i=1,2,…,n 来表示 X 的分布列.

离散型随机变量的分布列应注意问题：

X P

x1 P1

x2 P2

… …

xi Pi

… …

1、分布列的构成： (1)列出了离散型随机变量 X 的所有取值； (2)求出了X 的每一个取值的概率； 2、分布列的性质:

(1)pi

0, i 1, 2,

(2 ) pi p1 p2 pn 1i 1

n

探究五：两点分布例2、在掷一枚图钉的随机试 验中，令

1,针尖向上 X 0,针尖向下

如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X 的分布列。 解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是(1-p),于是， 随机变量X的分布列是

X P

0 1-p

1 p

像上面这样的分布列称为两点分布列。

如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称 X服从两点分布，而称 p=P(X=1) 为成功概率。

探究六：超几何分布思考1:某100件产品中有5件次品，从中任取3件所含的次

品数为X,那么随机变量X的值域是什么？

{0,1,2,3}思考2:结合古典概型和组合原理，X=0,1,2,3对应的 概率分别如何计算？能否用解析法表示X的分布列？

C C P (X = k ) = , k=0,1,2,3. 3 C 100

k 5

3- k 95

超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件产品，其中恰有X件次品，其中M , N,n∈N*,M≤N,n≤N,

C C P (X = k ) = C

k M

n- k N- M n N

k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n}.

例3、袋子中有3个红球，2个白球，1个黑球，这些球除 颜色外完全相同，现要从中摸一个球出来，若摸到黑球得 1分，摸到白球得0分，摸到红球倒扣1分，试写出从该盒 内随机取出一球所得分数X的分布列. 解：因为只取1球，所以X的取值只能是1,0,-1

1 2 1 P ( X 1) , P ( X 0) , 6 6 3 3 1 P ( X 1) X 1 6 2 1 ∴从袋子中随机取出一球 P 6 所得分数X的分布列为：

0

-1

1 3

1 2

注:在写出X的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1

求离散型随机变量分布列的基本步骤：(1)确定随机变量的所有可能的值 xi (2)求出各取值的概率P (X=xi) = pi (3)列出表格

定值

求概率

列表

展示与点评：

展示与点评要求

1、展示人规范快速； 改正点 其他同学讨论完毕总 结整理完善，不浪费 展示地 展示小 评小组 展示问题 组 点 一分钟，力争全部过 关。 学案24页例1 前黑板 1组 4组 2、点评人员：点评 人要声音洪亮，语言 学案24页例2 前黑板 2组 5组 清晰，先点评书写、 活页25页例3 前黑板 3组 6组 对错，再点评思路， 最后总结规律方法； 活页65页9 前黑板 7组 8组 其它同学：认真倾听、 积极思考，重点内容 记好笔记，有不明白 展示自我，提高自信，我是最棒的！ 或有补充的要大胆提 出