线性代数B答案(3)

参考答案：A10

110

1 2 0

10 2

-1

-1

2. 设A为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ是A的一个特征值。

参考答案：

-1

当A可逆时，由AP=λP,有P=λAP，因为P≠0，知道λ≠0，因此 -1-1-1-1

AP=λP,所以λ是A的一个特征值

3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

ax1 x2 x3 a 3

x1 ax2 x3 2

x x ax 2

23 1`

参考答案：

对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有

a1 2 11a a11a 3 1

B 1a1 2 ~ 01 a21 a3(a 1) ~ 01 a1 a2

11a 2 01 aa 1 0 02 a a2 0

当2 a a2 0时，即a 1, 2时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解。

此时解为：x1

3(a 1) 3(a 1)

2

a 1 3 3

,x2 ,x3 a 2a 2a 2

当a=1时，R（A）=R（B）=1，方程组有无穷解

x1 2 k1 k2

此时解为： x2 k1

x k

2 3

当a 2时，R（A）=2，R（B）=,3无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

1 1 1 1 2 1 1 0 1 , 2 , 3 , 4

3120 4 1 1 2

参考答案：

1

2 （ 1, 2, 3, ）=4

3 4

1111

1 1 1

10 ~0

020 12 0

1

0001 010

1 1 ~ 1 3

1000

1 1 1

01 1

则向量的秩为3 00 1

00 0

极大无关组为：a2,a3,a4，且a1 a2 a3 a4

5. 若A是对称矩阵，T是正交矩阵，证明T

1

AT是对称矩阵．