材料力学第9章 压杆稳定

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第十四章 压杆稳定§9—1 压杆稳定的概念 一、压杆失稳 1、定义： 、定义： 细长压干丧失其直线形状的平衡而 细长压干丧失其直线形状的平衡而 细长压 过渡为曲线平衡的过程称为丧失稳 简称失稳，也称为屈曲。 定，简称失稳，也称为屈曲。 2、性质： 、性质： F < Fcr F = Fcr F > Fcr 为杆件抵抗变形的能力不足的失效。 为杆件抵抗变形的能力不足的失效。 为杆件抵抗变形的能力不足的失效 二、临界压力的概念 1、定义： 、定义： 使压杆不发生失稳的最大压力称 使压杆不发生失稳的最大压力称 为临界压力 (符号： Fcr ) 。 符号： 符号 2、性质： 、性质： F F 直线平衡为稳定平衡。 (1)当 F < Fcr 时： ) 直线平衡为稳定平衡。 F (2)当 F = Fcr 时： ) 直线平衡为不稳定平衡称为临界平衡。 称为临界平衡 直线平衡为不稳定平衡称为临界平衡。 直线平衡为不稳定平衡。 (3)当 F > Fcr 时： ) 直线平衡为不稳定平衡。

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三、其他失稳问题

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§9—2 两端铰支细长压杆的临界压力 一、公式推导 1、建立挠曲线微分方程： 、建立挠曲线微分方程： M = Fw d 2w M Fw = = 2 dx EI EI F 2 引入记号： 引入记号： k = EI d 2w 微分方程为： 微分方程为： + k 2w = 0 dx 2 2、求通解： 、求通解：

w = A sin kx + B cos kx

3、挠曲线讨确定临界压力计算公式： 、挠曲线讨确定临界压力计算公式： 由x=0时w=0得： A sin k 0 + B cos k 0 = 0 时 得

B=0

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由x=l时w=0得：A sin k l = 0 时 得

A≠0 sin kl = 0由 sin kl = 0 得：

F 由k = 得： EI2

kl = nπ (n = 0,1, 2,...) nπ (n = 0,1, 2,...) k= l

n 2π 2 EI F= (n = 0,1, 2,...) 2 l Fcr =

为临界压力， 当n=1时F为临界压力，从而有： 时 为临界压力 从而有：

π 2 EIl2

(9.1) )

称为欧拉公式。 称为欧拉公式。

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二、公式讨论 1、适用范围： 、适用范围： 两端铰支小挠度线弹性理想压杆。 两端铰支小挠度线弹性理想压杆。 两端铰支小挠度线弹性理想压杆 2、准确性讨论： 、准确性讨论： 小挠度的情况下与精确解相差很小。 小挠度的情况下与精确解相差很小。 小挠度的情况下与精确解相差很小 为实验结果的极限情况。 为实验结果的极限情况。 为实验结果的极限情况

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解： 1、计算临界压力： 、计算临界压力：I=

π

64

(D4 d 4 ) =

π

64

(0.0124 0.014 ) = 0.0526 × 10 8 m 4

Fcr =

π 2 EI2

l = 7400 N

=

π 2 × (210 ×109 Pa) × (0.0526 ×10 8 m 4 )(0.383m) 2

2、稳定性校核： 、稳定性校核： 工作安全因数： 工作安全因数：Fcr 7400 N n= = = 3.23 > nst F 2290 N

满足稳定要求。 满足稳定要求。

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§9—4 其它支座条件下细长压杆的临界压力 一、公式推导方法 1、

挠曲线微分方程分析法(用于一般情况)。 、挠曲线微分方程分析法(用于一般情况)。 2、比较变形法(可用于简单情况)。 、比较变形法(可用于简单情况)。 二、比较变形法确定临界压力公式 1、一端固定，一端自由： 、一端固定，一端自由： π 2 EI Fcr = (9.2) ) (2l ) 2 2、两端固定： 、两端固定：FACcr = FBDcr =

π 2 EI2

l 2× 4 l 2

=

π 2 EI l 2 2

, FCDcr =

π 2 EI l 2 2

综合得： 综合得： Fcr =

π 2 EI2

(9.3) )

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3、一端固定，一端铰支： 、一端固定，一端铰支：

BC ≈ 0.7lFACcr =

( 2 × 0.3l )

π 2 EI

2

=

( 0.6l )2

π 2 EI

2

, FBCcr =

( 0.7l )

π 2 EI

2

综合得： 综合得：

Fcr =

( 0.7l )

π 2 EI

(9.4) )

三、欧拉公式的普遍表达式 π 2 EI 1、公式： 、公式： Fcr = 2 ( µl ) 2、常见约束压杆的长度系数： 、常见约束压杆的长度系数： 两端铰支： 两端铰支： µ=1 两端铰支 一端固定，一端自由： 一端固定， µ=2 一端固定 一端自由： 两端固定： 两端固定： µ=0.5 两端固定 一端固定，一端铰支： 一端固定， µ≈0.7 一端固定 一端铰支：

(9.5) )

μ称为长度系数， µl称为相当长度或有效长度。 称为长度系数， 称为相当长度或有效长度 称为相当长度或有效长度。

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§9—3 欧拉公式的适用范围 经验公式 一、临界应力的概念 压杆处于临界或极限直线平衡状态下的横截面的正应力称 压杆处于临界或极限直线平衡状态下的横截面的正应力称 为临界应力( 为临界应力(σcr)。 二、欧拉公式的应力形式 π 2 EI

Fcr ( µ l ) π 2 EI π 2 E (i 2 A) π 2 E = = = = σ cr = 2 2 2 A A ( µl ) A ( µl ) A µl i µl 可的应力形式的欧拉公式： 引入符号 λ = 可的应力形式的欧拉公式：2

i

λ称为柔度或长细比，它集中反映了压杆的长度、约束条件、 称为柔度或长细比，它集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响。 截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响。

π 2E σ cr = 2 λ

(9.7) )

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三、欧拉公式的适用范围 1、公式成立的条件： 、公式成立的条件：

σ cr ≤ σ P π 2E π 2E 即： ≤ σ P 或：λ ≥ 2 λ σPπ 2E 条件为： 取 λ1 = 时，条件为： σP(9.9) ) 满足上式的压杆称为大柔度杆或细长杆。 满足上式的压杆称为大柔度杆或细长杆。 2、公式适用的范围： 、公式适用的范围： 为压杆为大柔度杆或细长杆的情况。 为压杆为大柔度杆或细长杆的情况。 为压杆为大柔度杆或细长杆的情况 Q235钢的λ1: 钢的λ 钢的

λ ≥ λ1

λ1 =

π 2 × (206 ×109 Pa)200 ×10 Pa6

≈ 100

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四、非大柔度杆的临界应力确定 1、计算公式的确定方法： 、计算公式的确定方法： 一般以实验结果为依据建立经验公式。 一般以实验结果为依据建立经验公式。 一般以实验结果为依据建立经验公式 2、直线形经验公式确定临界应力 、 曲线形状： ①曲线形状： 临界应力计算公式： ②临界应力计算公式：

σ cr = a bλ σ cr = σ sλ2 =

(λ2 < λ < λ1 )

(λ ≤ λ2 )

a σ s b 柔度为大于λ2小于λ1的压杆称为中柔度杆。 柔度为大于λ 柔度为大于 小于λ 的压杆称为中柔度杆。 柔度为小于λ2的压杆称为小柔度杆。 柔度为小于λ 柔度为小于 的压杆称为小柔度杆。 3、抛物线形经验公式确定临界应力 、 曲线形状： ①曲线形状： 临界应力计算公式： ②临界应力计算公式：

σ cr = a1 b1λ 2

(λ < λ1 )

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五、临界应力总图 六、有局部削弱的压杆计算 1、λ≥λ2时，为稳定问题，用未 为稳定问题， 、 经削弱的横截面。 经削弱的横截面。 2、λ<λ2时，为强度问题，用削 、 λ 为强度问题， 弱的横截面。 弱的横截面。

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§9— 5

压杆的稳定校核 规定的稳定安全因数 (9.13) )

一、稳定条件 1、安全因数形式的稳定条件： 、安全因数形式的稳定条件： 工作安全因数

Fcr n= ≥ nst F

2、应力形式的稳定条件： 、应力形式的稳定条件：

FN σ= ≤ f A

(9.14) )

f 为强度设计值， 为稳定因数都可从规范中查到。 为强度设计值， 为稳定因数都可从规范中查到。 二、稳定校核计算步骤 1、确定柔度及判别压杆类型； 、确定柔度及判别压杆类型； 2、临界应力和临街压力计算； 、临界应力和临街压力计算； 3、稳定条件计算； 、稳定条件计算； 4、结论。 、结论。

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解： 、求柔度及判别类型： 1、求柔度及判别类型：

π 2E π 2 × (210 ×109 Pa) λ1 = = = 86 6 σP 280 ×10 Paµ = 1,i=

λ=

µli

i d = A 4

= 62.5

为非大柔度杆。 λ < λ1 为非大柔度杆。 查表9.2得 查表 得：a=461MPa, b=2.568MPa。 。a σ s (461 350) MPa λ2 = = = 43.2 2.568MPa b

λ2 < λ < λ1 为中柔度杆。 为中柔度杆。

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2、临界应力和临街压力计算： 、临界应力和临街压力计算：

σ cr = a bλ = (461MPa ) (2.568MPa) × 62.5 = 301MPa π Fcr = σ cr A = (45 ×10 3 m) 2 × (301×106 Pa ) = 478 ×103 N4

3、稳定条件计算： 、稳定条件计算：

Fcr 478kN n= = = 11.5 > nst F 41.6kN4、满足稳定要求。 、满足稳定要求。

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解：1、轴向压力计算： 、轴向压力计算：F= =

π

π4

4

D2 p

(65 × 10 3 m) 2 × (1.2 × 106 Pa) = 3980 N

2、临界压力： 、临界压力： Fcr = nst F = 6 × 3980 N = 32900 N 3、由欧拉公式试算确定直径： 、由欧拉公式试算确定直径： 由：

π EI Fcr = =

2 ( µl )2

π × (210 ×10 Pa ) ×2 9

π64

d4

(1×1.25m) 2

解得： 解得： d = 0.0246m = 24.6mm 取为： 取为：d=25mm。 。