现代控制理论习题集

现代控制理论-研究生课程

《现代控制理论》习题

第一章 控制系统的状态空间模型

1.1 考虑以下系统的传递函数：

Y(s)s 6

U(s) s2

5s 6

试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。 1.2 考虑下列单输入单输出系统：

y 6 y

11y 6y 6u 试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。

1.3 考虑由下式定义的系统：

x

Ax Buy Cx

式中

A 1

2 －4－3 ，B 1

2

,

C [11]

试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。 1.4 考虑由下式定义的系统：

x

Ax Buy Cx

式中

－101 0

A 1

－2

0 B 0 ,C [11 0

3 ， 1

试求其传递函数Y(s)/U(s)。

1.5 考虑下列矩阵：

0100 A

0010 0001 1

00

0

试求矩阵A的特征值λ1,λ2,λ

3 和λ4。再求变换矩阵

P，使得

P 1AP diag( 1, 2, 3, 4)

0]

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第二章 状态方程的解

2.1 用三种方法计算下列矩阵A的矩阵指数函数eAt。

06

1） A

1 5

010

01； 2） A 0 6 11 6

2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数eAt。

01 －20 0

1） A ； 2） A 0－1 ； 3） A 100 1 12

； 4） A 0 01

110 100 010

5) A 0 10； 6） A 010； 7） A 001 00 2 012 000

2.2 给定线性定常系统

Axx

式中

1 0

A

3 2

且初始条件为

1 x(0)

1

试求该齐次状态方程的解x(t)。 2.4 已知系统方程如下

01 1 xx u 6 5 0 y 1 1 x

求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。

1） u(t) 0,x(0) ；

1 0

2） u(t) 1(t),x(0)

0 0

3） u(t) 1(t),x(0) ；

1 1

4） u(t) t 1(t),x(0)

0 1

2.5 验证下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，若满足，求相应的状态系数矩阵A。

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1 t 3t

(e＋e) 2

t

e t e 3t

Ax t ，已知 2.6 对线性定常系统x

1

( e t e 3t) 4

1 t

(e e 3t) 2

e 2t 1

x 0 时 x t 2t

1 e 2e 2

x 0 时 x t t

1 e

求系统矩阵A。

t

2.7 已知线性时变系统的系统矩阵如下，计算状态转移矩阵 (t,0)。

t

1） A(t)

00

； 0 1

2） A(t)

t0 1

A(t)x和其伴随方程z AT(t)z，其状态转移矩阵分别用 (t,t0)和2.8 给定系统x

z(t,t0)表示，证明： (t,t0) Tz(t,t0) I。

2.9 求解下列系统的状态响应。

00 1

x x 1 u,t0 1

x(1) ,

2

T

u(t) 1(t 1)

2.10 已知如下离散时间系统， x(0) 11 ，u(k)是从单位斜坡函数t采样得到的，求系统的状态响应。

0.50.125 1

x(k 1) x(k) 1 u(k)

0.1250.5

2.11 已知如下离散时间系统，试求u(k)，使系统能在第二个采样时刻转移到原点。

10.5 0.3

x(k 1) x(k) 0.4 u(k)

00.1

第三章 线性系统的能控性与能观性

3.1 考虑由下式定义的系统

Ax Bux

y Cx

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式中

－1A 0

1

2－1

2 2

0 ,C [110]

1 ，B

1 1

试判断该系统是否为状态能控和状态能观测。该系统是输出能控的吗？

3.2 下列能控标准形

Ax Bux

y Cx

式中

0A 0

60 0

0 ,C [2091]

01 ，B

11 6 1

1

是状态能控和状态能观测的吗？

3.3 考虑如下系统

Ax Bux

y Cx

式中

0A 0

60 0

1 ,C [c01 ,B 1 11 6 0

1

c2c3]

除了明显地选择c1 c2 c3 0外，试找出使该系统状态不能观测的一组c1， c2和c3。

3.4 给定线性定常系统

Ax Bux

y Cx

式中

1 10 0

,B 0 ,C 110

A 1 20

0 3 0 1

试将该状态空间表达式化为能控标准形和能观测标准形。 3.5 给定线性定常系统

Ax Bux

y Cx

式中

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1 10 0

,B 1 ,C 111

A 1 20

0 3 0 1

试将该状态方程化为能观测标准形。

第四章 动态系统的稳定性分析

4.1 试确定下列二次型是否为正定的。

22Q x12 4x2 x3 2x1x2 6x2x3 2x1x3

4.2 试确定下列二次型是否为负定的。

22Q x12 3x2 11x3 2x1x2 4x2x3 2x1x3

4.3 试确定下列非线性系统的原点稳定性。

2

1 x1 x2 x1(x12 x2x)

2 x1 x2 x2(x x)x

22

V x1 x2

2122

考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的Lyapunov函数：

4.4 试写出下列系统的几个Lyapunov函数

1 11 x1 x x 2 3 x 2 2

并确定该系统原点的稳定性。

4.5 试确定下列线性系统平衡状态的稳定性

1 x1 2x2 2x

2 x1 4x2 1x

4.6 试确定下列线性系统平衡状态的稳定性。

1 x1 3x2x

2 3x1 2x2 3x3x

第五章 线性系统的综合

5.1 给定线性定常系统

Ax Bu x

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式中

10 0 0

,B 0

A 001

1 5 6 1

采用状态反馈控制律u Kx，要求该系统的闭环极点为s = -2±j4，s = -10。试确定

状态反馈增益矩阵K。 5.2 试用MATLAB求解习题4.3。 5.3 给定线性定常系统

1 1 x

x 2 01 x1 1

u 2 x2 0

试证明无论选择什么样的矩阵K，该系统均不能通过状态反馈控制u Kx来稳定。 5.4 调节器系统被控对象的传递函数为

Y(s)10

U(s)(s 1)(s 2)(s 3)

定义状态变量为

1,x3 x 2 x1 y,x2 x

利用状态反馈控制律u Kx，要求闭环极点为s i (i=1,2,3)，其中

1 2 j2, 2 2 j2, 3 10

试确定必需的状态反馈增益矩阵K。 5.5 试用MATLAB求解习题4.6。 5.6 给定线性定常系统

Ax Bux

y Cx

式中

11 0 A ,B 1 ,C 10

1 2

试设计一个全维状态观测器。该观测器的期望特征值为 1 5, 2 5。

5.7 考虑习题4.8定义的系统。假设输出y是可以准确量测的。试设计一个最小阶观测器，

该观测器矩阵所期望的特征值为 5，即最小阶观测器所期望的特征方程为

s 5 0。

5.8 给定线性定常系统

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Ax Bux

y Cx

式中

10 0 0

,B 0 ,C 100

A 001

5 60 1

假设该系统的结构与图4.5所示的相同。试设计一个全维状态观测器，该观测器的期望特征值为 1 10, 2 10, 3 15。 5.9 给定线性定常系统

1 010 x1 0 x x x 0 u 2 001 2 3 1.2440.3965 3.145 1.244 x x3

x1

y [100] x2 x3

该观测器增益矩阵的一组期望的特征值为

1 5 j, 2 5 j,

3 10。试设计一个全维观测器。

5.10 考虑习题4.11给出的同一系统。假设输出y可准确量测。试设计一个最小阶观测器。

该最小阶观测器的期望特征值为 1 5 j53, 2 5 j。 5.11考虑图4.17所示的I型闭环伺服系统。图中的矩阵A、B和C为

0 01 0

,B 0 ,C 100

A 001

0 5 6 1

试确定反馈增益常数k1,k2和k3,使得闭环极点为s 2 j4,s 10。试利用计算机对所设计的系统进行仿真，并求该系统单位阶跃响应的计算机解，绘出y(t)对t的曲线。

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图4.17 I型闭环伺服系统

5.12 考虑4.4节讨论的倒立摆系统。参见图4.2所示的原理图。假设

M = 2千克，m = 0.5千克，l = 1米

定义状态变量为

,x x,x x x1 ,x2 34

输出变量为

y1 x1,

试推导该系统的状态空间表达式。 若要求闭环极点为

y2 x x3

1 4 j4, 2 4 j4, 3 20, 4 20

试确定状态反馈增益矩阵K。

利用已被求出的状态反馈增益矩阵K，用计算机仿真检验该系统的性能。试写出一个MATLAB程序，以求出该系统对任意初始条件的响应。对一组初始条件 x1(0) 0,x2(0) 0,x3(0) 0,x4(0) 1米/秒 试求x1(t)，x2(t)，x3(t)和x4(t)对t的响应曲线。

5.13 考虑4.4节讨论的倒立摆系统。假设M、m和l 的值与4.4节中的相同。对于该系统，

状态变量定义为

,x x,x x x1 ,x2 34

试求该系统的状态空间表达式。

假设采用状态反馈控制律u Kx，试设计一个稳定的控制系统。考虑以下两种情况下的期望闭环极点 情况1： 1 1.3 j, 情况2： 1 2,

2 1.3 j, 3 20, 4 20；

2 2, 3 10, 4 10

试确定在这两种情况下的状态反馈增益矩阵K。再求设计出的系统对初始条件

(0) 0,x(0) 0,x (0) 0 (0) 0.1弧度,

的响应，并比较这两种系统的响应。

5.14 考虑4.7节讨论的倒立摆系统。设计一个状态反馈增益矩阵K，其中已知

K k1,k2,k3,k4 和积分增益常数kI。假设该系统的期望闭环极点为 1 2,

试利用MATLAB确定增益矩阵K和积分增益常数kI。 2 2, 3 4 5 10。

再求当单位阶跃输入作用于小车位置时的阶跃响应曲线。

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第六章 最优控制

6.1设系统状态方程及边界条件为：

u, x(0) 16 x ,x(tf) 0

试求最优控制u(t)，使下列性能指标

1tf2

J t udt

20

2f

取最小值。

6.2求从x(0) 1到直线x(t) 2 t之间距离最短的曲线及最优终端时间。 6.3系统状态方程及边界条件为：

1 x2 x

2 u x 1(0) 1 x

2(0) 1 x x1(0) 0

x2(0) 0

试求最优控制使下列指标取极值并求最优轨线。 J 6.4设系统状态方程及初始条件为

112

udt 02

u;x(0) 1;x(tf) 0 x

tf未给定，试求最有控制及tf使下列指标取极值，并求出最优轨线。

6.5设系统状态方程及初始条件为：

1 x1, x1(0)x 0

2 u, x2(0) x 0

中断状态受如下约束 M x1(1) x2(1) 1 0 试求最优控制是下列性能指标 取极小值，且求出最优轨线。

6.6 设一阶离散系统方程为

1t2

J u(t)dt

20

x(k 1) x(k) au(k)

边界条件为：x(0) 1,x(10) 0。试求最优控制序列，使下列性能指标

192

J u(k)

2K 0

取极小值，并求出状态序列。

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6.7 设系统状态方程及边界条件为:

u; x

x(t0) x0,x(T) 0

试求最优控制是指标J

1T2

udt取极值，并求出最优轨线及最优性能指标。 t02

6.8设系统状态方程及边界条件为:

u;x(0) 1,x(tf) 0 x

试求最有控制及tf使J t 6.9 设系统状态方程为

2f

tf

u2(t)dt取极值。

2 u 1 x2 xx

试确定最优控制u t ，使下列性能指标

J

12

x1 u2 dt 2

取极小值。

6.10 设有下列受控系统状态方程：

1 10 x1 0 1 10 x1 0 x x

u 1. u 2. 2 01 x2 1 2 0 2 x2 1 x x

3.

1 01 x1 0 x

u 2 01 x2 1 x

试分别研究有无最优控制使下列性能指标

1 22

J x1 x2 u2 dt

20

？分析受控系统状态可控性、稳定性与最优解的关系。 取极小值？是否存在正定矩阵K