5-4-线性微分方程解的结构(3)

y=C1(x 3ex)+C2(ex x)+x (x2+1)，

1 C= 12 3C1+C2 1=0 代入初始条件得 ，解得 5C 2+1=01 C2=2

故线性非齐次方程满足初始条件的特解为y=e x x 1

6. 已知微分方程(x 2x)y′′ (x 2)y′+(2x 2)y=6x 6有三个特解y1=3，22x2

y2=3+x2，y3=3+x2+ex，求该方程的通解.

解：该方程是二阶线性非齐次微分方程，由于给定的三个特解线性无关，由习题5.4第4题知y2 y1=x，y3 y2=e为对应的齐次方程的两个线性无关的特解，故对应的齐次方程的通解为y=C1x+C2e，由线性非齐次方程通解的结构定理知其通解为22xx

y=C1x2+C2ex+3

第5章 常微分方程 第4节 线性微分方程解的结构 3/3