5-4-线性微分方程解的结构(2)

x2x2′=2xe证明：y1

左=(2ex2′′=2e，y12′，y1′′代入方程左端： +4x2ex，把y1，y1222+4x2ex) 4x 2xex+(4x2 2)ex=0=右，所以y1=ex是方程2y′′ 4xy′+(4x2 2)y=0的解；

x′代入方程左端： ′=6xex+4x3ex，把y2，y′y′+2x2ex，y′2=e22，y′22222

左=(6xex2+4x3ex) 4x (ex+2x2ex)+(4x2 2)xex=0=右，

x22222所以y2=xe

由于y1=e

2是方程y′′ 4xy′+(4x 2)y=0的解； x2x2和y2=xe线性无关，故该方程的通解为y=C1ex2+C2xex 2

4. 证明：如果y1和y2是二阶线性非齐次方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的两个线性

无关解，则y1 y2是对应的齐次方程的解.

证明：因为y1是二阶线性非齐次方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解，所以

′′+p(x)y1′+q(x)y1=f(x) （1） y1

因为y2是二阶线性非齐次方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解，所以

′+p(x)y2′+q(x)y2=f(x) （2） y′2

（1） 式、（2）式左右两端分别相减，得

(y1 y2)′′+p(x)(y1 y2)′+q(x)(y1 y2)=0

即y1 y2是对应的齐次方程的解.

5. 证明：已知二阶线性非齐次方程的三个特解为y1=x (x+1)，2

y2=3ex (x2+1)，y3=2x ex (x2+1)，求该方程满足初始条件y(0)=0,y′(0)=0的特解.

证明：由于给定的三个特解线性无关，由习题5.4第4题知y1 y2=x 3e，xy1 y3=ex x为对应的齐次方程的两个线性无关的特解，故对应的齐次方程的通解为y=C1(x 3ex)+C2(ex x)，由线性非齐次方程通解的结构定理知其通解为

第5章 常微分方程 第4节 线性微分方程解的结构 2/3