第10讲.简单的有理函数与无理函数

考纲要求 1、知道有理函数与无理函数是由一、二次函数与 幂函数的复合；

2、对所给的有理函数与无理函数，能进行适当的 化简并研究其性质。

知识点1、二次函数、反比例函数的单调性与对称性； 2、二次方程与二次不等式根与解集的性质。

基础训练

f ( x) x 1 1 1、已知函数 则f(x)的单调递减区间是 (-∞,-1),(-1,+∞)对称中心是 (-1,0) (-∞,0),(0,+∞) 值域为f ( x ) x 2a b 的对称中心为(2,-1),则 2、已知函数 a= -2 ,b= -1 .

;

;。

3、函数 y x 2 2 x 3 ,则该函数的单调递减 区间为 (-∞,-1] ,单调递增区间为 [3,+∞) . 4、已知函数 f ( x) x 2 2 x 1则f(x)的值域为

[0, 2]

。

f ( x) 2 1 5、已知函数 x x 2则f(x)的值域为 (0,8/7] 。

7.已知函数f ( x) log 2 [2 x ( m 3) x 2m],2

(1)定义域为R, 求m的取值范围； (2)值域为R, 求m的取值范围。

例题精析题型一 简单有理函数与无理函数的基本性质

1 例1、已知函数 f ( x) x 2 2 x 3 ,求： (1)f(x)的定义域； 渐近线y 对称轴(2)f(x)的单调区间;(3)作出f(x)的示意图。

渐近线

(1){x∈R|x≠1,且x≠3}(2)(-∞,-1),(-1,1)增函数 (1,3),(3,+∞)减函数

-1 0

1

3x

例2、求函数

y x x 12

的定义域和单调区间。

解：定义域：(-∞,-1]∪[1,+∞) 单调区间 分析1、利用复合函数的性质 当x<-1时，为增函数， 1 当x>1时，y 为减函数。 2 x x 1 分析2、求导数

f ( x) x 2 1 2 练习1、已知函数 x求该函数的单调区间，并作出它的简图。

题型二

简单有理函数的最值问题

f ( x) x 2 x 1 , 例2、已知函数

求f(x)的最大值与最小值。x2 2 x 4 例3、已知函数 f ( x) x 2 x 4 ,

求f(x)的最大值与最小值。

引申：用换元法求简单有理函数的值域2 f ( x) x 2x x1 , 例4、已知函数 2 2

求f(x)的最大值与最小值。

题型三 简单无理函数的值域

例5、求函数 y

1 x x 12

的值域。

例6、求函数

y x x 12

的值域。

分析1、研究单调性，见例2 分析2、方程的思想

等式变形为：(y-x)2=x2-1,其中y≤x练习:求函数

y x x 3x 2 的值域。2

引申：用换元法求简单的无理函数的值域2 例7、设a为实数，记函数 f ( x) a 1 x 1 x 1 x

的最大值为g(a),求g(a).

练习：函数 f ( x) x x 1 的最小值为

。