简谐运动的几个问题(4)

3. 对称性

做简谐振动的物体，在通过以平衡位置为中心两侧相对称的某两点时，质点的回复力、位移、加速度大小相等，方向相反；速率、动能、机械能相等。

[例3] 如图3所示，质量为m和M的两木块由轻弹簧相连接，置于水平桌面上，试分析：在m上加多大压力F，才能在F撤去后，上板弹起时刚好使下板对桌面的压力为零？

图3

解析：撤去外力F后，m将在回复力的作用下做简谐振动，依题意当m运动到最上端时，下板对桌面恰好无压力，故此时回复力为(m M)g，由对称性可知，当m在最下端时，回复力大小也为(m M)g，故所施外力大小为(m M)g。

4. 守恒性

[例4] 如图4所示，在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子的质量为M，振子最大速度为v0，当振子运动到最大位移A的时刻，把质量为m的物体轻放其上，则（ ）

（1）要保持物体和振子一起运动，二者间的动摩擦因数至少多大？ （2）一起振动时，二者过平衡位置时的速度多大？振幅多大？

图4

解析：（1）放物体前振动系统的最大回复力为F kA，放上物体m后，二者一起振动的最大加速度为a

FM m

kAM m

对物体m而言，所需要的回复力是M施于它的静摩擦力，则放上物体m时加速度最大，所需的静摩擦力亦最大。设最大静摩擦力大小为 mg，则当满足 mg ma时，两者可一起振动，可见二者间动摩擦因数的最小值为

ag

kA(M m)g

。

（2）当二者一起振动时，机械能守恒，过平衡位置时，弹簧恢复原长，弹性势能为零，则

12

(M m)v

2

12

Mv0，解得v v0

2

MM m

。

（四）机械振动知识在实际问题中的应用 1. 测凹透镜的凹面半径

[例1] 如图1所示，为了测一凹透镜的凹面半径R，让一半径为r的光滑钢球在凹面内做振幅很小的振动，若测出它完成N次全振动的时间为t，则此凹透镜的凹面半径R ____。（重力加速度为g）