正交矩阵的性质

高等代数

习题课

正交矩阵的性质讲课：杨忠鹏

制作：林志兴 杨忠鹏2003.06.05

习题课

正交矩阵的性质

一、正交矩阵的定义及简单性质 二、有限维欧氏空间里的正交矩阵 三、正交矩阵的特征根

一、正交矩阵的定义及简单性质A R n n , 若A' A E 称 A 为正交矩阵 1 定义

2 运算性质

①正交矩阵之积为正交阵 ②正交矩阵的转置为正交阵 ③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵

问题

①正交矩阵之和？ ②数乘正交矩阵？

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3 正交矩阵的判定 1 2 A (aij ) ( 1 , 2 , , n ) R n n n 1 ① A为正交矩阵 A' A

1, i j, i, j 1,2, , n ② A为正交矩阵 i ' j 0, i j,

1, i j, i, j 1,2, , n ③ A为正交矩阵 i j ' 0, i j,习题课 正交矩阵的性质

问题：① | aii | 的上界？ i ② | aij | 的上界？ i, j ③ 当某 | ai0i0 | 1 时， ai0 j ? ji0 ?

j i

④ 元素 aij 与其余子式 M ij ,代数余子式 Aij 的关系如何？

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二、有限维欧氏空间里的正交矩阵1 矩阵 A R n n ,则

A为正交矩 阵

A的行(列)向量组是 n 维行(列)向量

n 空间 R 的一组标准正交基。

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2

n维欧氏空间 Vn (R) 的一组标准正交基 1 , 2 , , n ,n n

矩阵 A R

满足

( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) A

则 1 , 2 , , n 为标准正交基 A为正交矩阵

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3

A为n维欧氏空间 Vn (R)的线性变换， 1 , 2 , , n 是一组 标准正交基，若 A( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) A , A R n n 则

A是正交变换

A为正交矩阵

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4 n维欧氏空间 Vn (R) 的正交变换的分类 ① A为第一类的(旋转),若 A 1; ② A为第二类的，若 A 1 。

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5 A为n维欧氏空间 Vn (R)的线性变换， 1 , 2 , , n 为一组n n A ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) A , R 标准正交基，且 A

则 A为对称变换 A' A

存在标准正交基 1 , 2 , , n 是A的特征

向量，即A在 1 , 2 , , n 下的矩阵为实对角矩阵 diag ( 1 , 2 , , n )

即 ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) P使 P' AP P 1 AP diag ( 1 , 2 , , n )习题课 正交矩阵的性质

三、正交矩阵的特征根1 在不同的教材上曾出现下面的命题①正交变换的特征根为1或-1; ②正交矩阵的实特征根为1或-

1; ③正交矩阵的特征根的模等于1。

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③的证明： 设 x 为 n 维非零复向量， 为复数， 且

Ax x, C, x( 0) C n对(1)两边取共轭转置

(1)

Ax' ( A x) x ' A ( x)' ' x '注意此时 A A E, x ' x 0, 由(1)和(2)

(2)

Ax' ( Ax) ( x ' )( x) ( )(x ' x) x ' ( A A) x

即 可得

x' x x' x2

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2

正交矩阵A的特征根

① 特征多项式

f A ( ) E A n a1 n 1 ani) ii) iii)

(3)

a1 trA, an ( 1) n AtrA aii ii 1 n i 1 n n

A ii 1

这里 1 , 2 , , n 为矩阵A的所有特征根 i C, i ② 当 A R n n 时，由(3)知A的非实的复特征根是成对 共轭出现的。习题课 正交矩阵的性质

③正交矩阵 A R n n 的特征根

i) 分类

实特征根为1或-1非实特征根为成对共轭 与 出现， 且 12

ii) 可设 正特征根

1 2 t 1 1 2 s 1(4)

负特征根

非实特征根 1 , 1 , 2 , 2 , , k , k 且 i i i习题课 正交矩阵的性质2

1, i 1,2, , k

这里 t s 2k n , t , s, k 为非负整数

3 正交矩阵A的行列式① A 1 或-1 ② 在(4)之下 (简单证明，由定义给出)

A ( 1 t )( 1 s ) 1 1 2 2 k k ( 1 s )即

A ( 1) s ,s 是-1作为A的特征根的重数

(5)

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4

A R n n 的三类特征根 正交矩阵

① n为偶数时， t 与 s 的奇偶性相同 ② n为奇数时， t 与 s 的奇偶性相反，且至少有1个 特征根为1或-1。

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5

n 维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况

注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，A的实特征根

才是A的特征根，约定当 不是特征根时，其重数为0:① A为第一类的 即 A 1

若A有特征根，则特征根-1的重数为偶数，特征根1的重数 与n 的奇偶性相同 ② A为第二类的 即

A 1

A必以-1为特征根且重数为奇数，特征根1的重数与n的奇偶性

相同。③ 若A有特征根，则特征根1的重数与n的奇偶性相同。习题课 正交矩阵的性质

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问题 ① 证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个 特征值。 ② 证明第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值。

③ 设A是3 3正交阵且 A 1

证明A的特征多项式为

f ( ) 3 t 2 t 1 ,这里 1 t 3

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① 与 ② 进一步的结论？

③ 考虑A的所有特征值的可能性

i) ii) iii)

(1,1,1) (1, 1, 1)

(1, , ) , 1 , 2

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