第三章时间响应分析

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控制工程基础主讲教师：韩锟Tel:82655345(O) Email:hkun@

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第三章

时间响应分析

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重点

时 间 响 应 分 析

一、时间响应及其组成 二、一阶系统的时间响应重点、难点

三、二阶系统的时间响应

四、高阶系统的时间响应五、误差分析和计算

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一、时间响应及其组成(重点)1.时间响应的基本概念系统在外加作用激励下，其输出

量随时间变化的函数关系，称之为系统的时间响应。

系统微分方程的解就是系统的时间响应，它完 全反映系统本身的固有特性及系统在输入作用下的 动态历程。

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2.时间响应的组成引例：分析质量为m、弹簧刚度为k的无阻尼单自由度系 统在外力作用下的时间响应。

建立系统微分方程( 2)

y (t )k

myF co s t

(t ) ky(t ) F cos t(3-1)

m

其解为：

y (t ) y1 (t ) y (t )*

对应齐次方程的通解

特解

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解微分方程

求方程3-1对应的齐次方程的通解y1(t):

式3-1对应的齐次方程的特征方程为：

mr k 02

r i k my1 (t ) A sin

—— 一对共轭复根

k mt B cos

k mt

=ωn , 为系统的无阻尼固有频率

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求方程3-1的一个特解y*(t):若非齐次方程右端项形式如下： x

Note:

f ( x) e* k

Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x (1) ( 2)

则非齐次线性微分方程的特解可设为：

y x e [ Rm ( x) cos x Rm ( x) sin x]( ( 式中，Rm1)、Rm2)是m次多项式，m = max(l,n);

x

而k按λ±iω不是特征方程的根、或是特征方 程的单根依次取0或1。

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方程3-1右端的函数

f (t ) F cos t

f ( x) e

x

Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x

比 较

0、P (t ) F、Pn (t ) 0、m 0 l如果ω≠ωn,则λ±iω不是特征方程的根，则：

k 0故这个特解可设为：

y x e* k

x

R

(1)

m

( x) cos x Rm ( x) sin x( 2)

y (t ) a1 cos t b1 sin t*

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代入方程3-1,可求出

a1

F k m 2

F k

1 1 2

b1 0

(式中，λ = ω/ωn)

求方程3-1的完全解：

y (t ) A sin nt B cos nt 根据初始条件，可求出

F k

1 1 2

cos t

A

y (0)

'

n

, B y (0)

F

k 1

12

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系统的时间响应为y (0)'

y (t )

n

sin nt y (0) cos nt

F

12

k 1

cos nt

F

12

k 1

cos t

自由响应 齐次方程的通解y (0)'

强迫响应 特解F 12

y (t )

n

sin nt y (0) cos nt

k 1

cos nt

F

12

k 1

cos t

零输入响应

零状态响应

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一般系统时间响应的组成设线性定常系统的微分方程为dn n

an

dt

xo (t ) an 1m m

d

n 1 n 1

dt

xo (t ) a0 xo (t ) xi (t )

b0 xi (t )

bm

d

dt

xi (t ) bm 1

d

m 1 m 1

dt

特征方程：

实系数一元n次方程n 1

an s an 1sn

a1s a0 0

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设方程有q个实根λi (i=1,…,q),r对共轭复根σj +i ωj (i为虚数单位，j=1,…,r),则该系统的齐次方程的通 解(即自由响应)为：q

y1 (t ) Ci ei 1

i t

ej 1

r

jt

( A j cos j t B j sin j t )

式中，Aj、Bj、Ci —— 由初始条件决定的系数； 所以一般系统的时间响应为：q

y (t ) Ci ei 1

i t

ej 1

r

jt

( A j cos j t B j sin j t ) B(t )

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q

y (t ) Ci ei 1

i t

ej 1

r

jt

( A j cos j t B j sin j t ) B(t )

自由响应 由传递函数的极点决定结论：

强迫响应

由系统输入决定

系统的时间响应由自由响应和强迫响应组成； 自由响应由系统本身的性质决定；强迫响应由输入决定； 传递函数的极点决定了系统自由运动的模态。

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3.时间响应分析的目的在时间域，研究在一定的输入信号作用下系统输出随 时间变化的情况，以分析和研究控制系统的性能。

优点：

缺点：

直观、简便；

对高阶系统微分方程的求解较困难；

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二、一阶系统的时间响应1.一阶系统的数学模型

G (s)

U o ( s) U i (s)

1 Ts 1

极点(特征根):

1 T

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2.典型输入信号典型输入信号的概念系统输入信号的形式多种多样，有时其函数形式甚至 不可能事先获得，因此，在进行时间响应分析时，为了比 较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输 入信号建立分析比较的基础，这些信号称为控制系统的典 型输入信号。

对典型输入信号的要求 能够使系统工作在最不利的情形下；

形式简单，便于解析分析； 实际中可以实现或近似实现；

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常用的典型输入信号

阶跃信号

幅值，A=1时，称为单位阶跃信号，用 1(t)表示f (t )

0 f (t ) A

t 0 t 0A0

物理意义：

t

表示一个在t = 0时刻出现的幅值为A的阶跃变化函 数。在实际系统中，这意味着t = 0时突然加到系统上 的一个幅值不变的外作用。

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在任意时刻t0出现的阶跃信号可表示为：

f (t t0 ) A 1(t t0 )

单位阶跃信号的拉氏变换为：

L[1(t )]

1 s

强度为A的阶跃信号的拉氏变换为：

L[ A 1(t )]

A s

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脉冲信号f (t ) limt 0 0

A t0

[1(t ) 1(t t0 )]

f (t )A t00

A

+

0

A t0

t0

=t t

t0→0 (t )

0

t

0

t0

t

0

t

物理意义：

是一个宽度为零，幅值为无穷大、面积为A极限脉 冲，其强度通常用其面积来表示。

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面积为1的脉冲信号称为单位脉冲信号

,记为δ(t)

(t )dt 1

单位脉冲信号的拉氏变换为1

L[ (t )] 1一个任意形式的外作用，可以分解成不同时刻的一系列 脉冲信号之和。

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常用的典型输入信号列表 名称单位脉冲信号

时域表达式

复域表达式

微 分

单位阶跃信号

δ(t) 1(t)

单位斜坡(速度)信号单位抛物线(加速度) 信号

t t2/2

1 1/s 1/s2 1/s3