正切函数图像与性质

高一数学正切函数图象与性质复习

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正切函数图像 作法如下： ①作直角坐标系， 并在直角坐标系 轴左侧作单位圆. ②把单位圆右半圆分成 8 等份， 分别在单位圆中作出正切线.③描点。(横坐标是一个周期的 8 等分点，纵坐标是相应的正 切线)④连线.

余切函数 y=cotx

(2)正切函数的性质 ①定义域： x | x k

,k Z 2

②值域： R

③周期性：正切函数是周期函数，周期是 . ④奇偶性： ta n ( x ) ta n x ,∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 O 对称. 2 k ,

⑤单调性： 由正切曲线图象可知： 正切函数在开区间 (

2

k ), k Z 内都是增函数.

强调： a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数 余切函数 y=cotx,x∈(kπ ,kπ +π ),k∈Z 的性质：

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定义域： x R 且 x k , k z

值域：R

周期： T

奇偶性：奇函数

单调性：在区间 k , k 1 上函数单调递减。 正切函数的定义域问题 例：求函数 y ta n ( x 4 ) 的定义域.

练习：求函数 y tan( 2 x 例：函数 y=lgtanx 2

4

) 的定义域

的定义域是 4

( (B) {x|4kπ <x<4kπ + (D)第一、三象限 2

)

(A){x|kπ <x<kπ +

,k∈Z}

,k∈Z}

(C) {x|2kπ <x<2kπ +π ,k∈Z} 例：求下列函数的定义域 1、 y cot x tan x 1

2、 y

cot x csc x

k x k cot x 0 2 tan x 1 0 x k k z 解：1、 4 x k x k x k 2 x k 2

, k k , k k , k Z 4 4 2 cot x 0 2 csc x 0 或 x k cot x 0 csc x 0 x k

第一象限或第四象限包 2

括 y轴

x ( 2 k ,2 k

2

] [2 k

,2 k ) k z3 的定义域.

例：求函数 y=lg(tanx- 3 )+ 2 cos x 解：欲使函数有意义，必须 tanx> 3 , 2cosx+ 3 ≥0, x≠kπ + 2

(k∈Z) 3

∴函数的定义域为(kπ +

,kπ +

2

) .

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例：函数 y= log

1 2

tan x 的定义域是(

) B.{x|2kπ <x≤2kπ + 4

A.{x|0<x≤

4

) 4

,k∈Z 4

C.{x|kπ <x≤kπ

+

,k∈Z

D.{x|kπ -

2

<x≤kπ +

,k∈Z

解：由 log 1 tanx≥0,得 0<tanx≤12

根据 y=tanx 在 x∈(-

2

,

2

)上的图象可知 0<x≤

4

结合周期性，可知原函数的定义域为： x|kπ <x≤kπ + { 练习：求函数 y= cot x sin x 的定义域. 三角函数的值域与最值问题 2 例：函数 y=tan x-2tanx+3 的最小值是 求函数 y=ta n x 1 ta n x 1

4

,k∈Z}

;

的值域.

2 练习：函数 y ta n x ta n x 1 x k

, k Z 的值域是 2

三角函数的奇偶性与周期性问题 例：函数 y=tan (2x+ 6

)的周期是 2

例： 在下列函数中,同时满足(1)在(0, (A) y=|tanx| 练习：函数 y=2tan( 3

)上递增； (2)以 2π 为周期； (3)是奇函数的是 (C) y=tan ,周期是1 2

(

)

(B) y=cosx x 2

x

(D) y=-tanx

)的定义域是 5

; 6

求下列函数的周期： (1) y 3 ta n x

(2) y t a n 3 x

说明：函数 y A tan x A 0, 0 的周期 T

.

三角函数的单调性问题 例：已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则 a、b、c 的大小关系是 (A) a<b<c (B) c<b<a (C) b<c<a 例： 已知函数 y=tanω x 在( 2

( (D) b<a<c ( (D) ω ≤ -1 16

) )

,

2

)内是单调减函数,则 ω 的取值范围是 (C) ω ≥1 (2)tan(7 8

(A)0<ω ≤ 1 (B) -1≤ω <0 例：不通过求值，比较下列各式的大小 (1)tan( 5

)与 tan(-

3 7

)

)与 tan (

)

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例：求函数 y=tan(2x解：y=tanx,x∈(∴即 2

3

)的单调区间. 2

2

+kπ , 3

+kπ ) (k∈Z)是增函数.

+kπ <2x+k 2

<5 12

2

+kπ ,k∈Z.k 2

12

<x< 3

+

,k∈Z 12

函数 y=tan(2x练习：比较大小

)的单调递增区间是(-

+

k 2

,

5 12

+

k 2

)(k∈Z) .

(1 ) tan 138 _____

tan 143 x 2

( 2 ) tan(

13 4

) _____ tan(

17 5

)

例：求下列函数 y

ta n (

3

)

的周期和单调区间x k k ,k Z 2 3 2 可得 k x k , k Z 2 2 3 2

解：T=

=2π ;

ta n ( ) 0 2 3 由 k x k , k Z 2 2 3 2 cot( x 2

∴可得函数 y= 例：已知 α 、β ∈(

3

)

的递减区间为[2kπ - π ,2kπ +3

2

3

)

(k∈Z)3 2

2

,π ),且 tan(π +α )<tan(5 2

5 2

-β ),求证: α +β <3 2

. 2

证：∵tan(π +α )<tan(3 2

-β ) ∴tanα <tan( π -β ),又∵3 2

2 3 2

<α <π ,

< π

-β <π2

3

∴α 与 π -β 落在同一单调区间,∴α < π -β ,即 α +β < π 例：如果α 、β ∈( A.α <β C.α +β <3 2

2

,π )且 tanα <cotβ ,那么必有( B.β <α D.α +β >3 2

)

3 2

解：tanα <cotβ tanα <tan( ∵α 、β ∈( 2

-β ) 2

,π ), 2

3 2

-β ∈(

,π )

又∵y=tanx 在( ∴α <3 2

,π )上是增函数3 2

-β

即α +β <

例：函数 y=lg(tanx)的增函数区间是(

)

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A.(kπ -

2

,kπ + 2

2

)(k∈Z) 2

B.(kπ ,kπ +

2

)(k∈Z)

C.(2kπ -

,2kπ +

)(k∈Z) 2

D.(kπ ,kπ +π )(k∈Z)

解：函数 y=lg(tanx)为复合函数，要求其增函数区间则要满足 tanx>0,且 y=tanx 是增函数 的区间 解之得 kπ <x<kπ + (k∈Z) 2

∴原函数的增函数区间为：(kπ ,kπ +

)(k∈Z)

例：试讨论函数 y=logatanx 的单调性. 解：y=logatanx 可视为 y=logau 与 u=tanx 复合而成的，复合的条件为 tanx>0, 即 x∈(kπ ,kπ + 2

2

)(k∈Z)

①当 a>1 时，y=logau 在 u∈(0,+∞)上单调递增； 当 x∈(kπ ,kπ + )时，u=tanx 是单调递增的， 2

∴y=logatanx 在 x∈(kπ ,kπ + 2

)(k∈Z)上是单调增函数

②当 0<a<1 时，y=logau 在 u∈(0,+∞)上单调递减； 当 x∈(kπ ,kπ + )时，u=tanx 是单调递增的. 2

∴y=logatanx 在 x∈(kπ ,kπ +

)(k∈Z)上是单调减函数. 2

故当 a>1 时，y=logatanx 在 x∈(kπ ,kπ +

)(k∈Z)上单调递增； 2

当 0<a<1 时，y=logatanx 在 x∈(kπ ,kπ + 正切函数的对称中心与渐近线 例：求函数 y=3tan(2x+ 3

)(k∈Z)上单调递减

)的对称中心的坐标.k 2

分析：y=tanx 是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(

,0) (k∈Z) .函数 y=Atan(ω

x+φ )的图像可由 y=tanx 经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为 图像与 x 轴交点. 解：由 2x+ 3

=

k 2

,(k∈Z) 得 x=k 4

k 4

-

6

(k∈Z)

∴对称中心坐标为(

-

6

,0) (k∈Z)

注意：函数 y=Atan(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的图像及性质可与函数 y=Asin(ω x+φ ) (A> 0,ω >0)的图像及性质加以比较研究. 例：下列关于函数 y=tan2x 的叙述：①直线 y=a(a∈R)与曲线相邻两支交于 A、B 两点,则线段 AB

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学汇教育个性化发展中心XueHui Personalized Education Development Center 2k 4

长为 π ;②直线 x=kπ + 的命题序号为

,(k∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线

的对称中心是(

,0),(k∈Z),正确

. 的图象不相交的一条直线是( 4

例：与函数 y ta n 2 x

D )

A x

2

B x

2

C x

4

D x

8

例：求函数 y tan 3 x

的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的 3

图象可以由正切曲线如何变换得到。 解：由 3 x 3

k

2

得x

k 3k 3

5 18

,

∴所求定义域为 x | x R , 且 x 在区间 k 3

5

, k z ,值域为 R,周期 T ,是非奇非偶函数， 18 3

18

,

k 3

5 k z 上是增函数。 18

将 y ta n x 图象向右平移

3

个单位，得到 y t a n x

的图象；再将 3

1 y ta n x ,就得到函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) 3 3

y tan 3 x 的图象。 3

练习：求函数 y=tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间[-π ,π ]内的图象.

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