【金版学案】2014-2015学年高中数学(人教必修五)课时训练：1.1.1 正弦定理

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数学·必修5(人教A版)

解三角形

本章概述

课标导读

1.正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2.应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

要点点击

1.边长a、b、c对应角分别为A、B、C，非特殊要求不能改变． 2.注意使用三角形内角和为180°.

3.建立边角关系一般使用正弦定理和余弦定理． 4.多边形和多面体的计算一般通过解三角形来完成．

5.解测量问题时，一般把问题抽象成平面多边形或空间多面体问题，再利用解三角形方法求解.

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1.1 正弦定理和余弦定理

1．1.1 正弦定理

基础达标

1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，则B＝( )

A．30° B．45° C．60° D．90°

解析：由2B＝A＋C 3B＝A＋B＋C＝180°， 即B＝60°，故选C. 答案：C

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2.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )

3

A．43 B．3 C.3 D.2

解析：利用正弦定理解三角形．

ACBC

在△ABC中，

sin Bsin A

2

32×

2BC·sin B

∴AC＝23.

sin A 3

2

答案：B

3．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝( ) A．1∶2∶3 B．3∶2∶1

C．13∶2 D．2∶3∶1

解析：设A＝k，B＝2k，C＝3k，由A＋B＋C＝180°， 得6k＝180°，k＝30°，∴A＝30°，B＝60° ，C＝90°， a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶3∶2. C

答案：C

4．(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝3b，则角A等于( )

ππππA. C. D. 12643

3ba

解析：∵＝，∴sin A＝，∵△ABC是钝角三角形，∴A

sin B23

2

π＝3

答案：D

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5．在△ABC中，若b＝2，B＝30°，C＝135°，则a＝________.

解析：∵B＝30°，C＝135°， ∴A＝180°－30°－135°＝15°.

ab

由正弦定理，

sin Asin B

bsin A2sin 15°a＝＝＝4sin 15°.

sin Bsin 30°

6

又sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝

4

2－， 4

∴a＝6－2. 答案：6－2

巩固提高 6．在△ABC中，如果B＝31°，a＝20，b＝10，则此三角形( ) A．有两解 B．有一解

C．无解 D．有无穷多解

解析：∵asin B＞b，∴无解． 答案：C

π

7．在△ABC中，若a＝3，b3，∠A＝，则∠C的大小为

3

________．

解析：利用正弦定理及三角形内角和性质求解．

在△ABC中，由正弦定理可知＝

sin Asin B33×

21bsin A

即sin B＝a＝.

32π

又∵a>b，∴∠B＝.

6

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π

∴∠C＝π－∠A－∠B＝2

π

答案：2

8．在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，则AB边上的高是________．

ACAB

解析：由正弦定理，，

sin Bsin C

AB·sin 30°23·sin 30°3

∴sin C＝＝ AC22∴C＝60°或120°， ①当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2； ②当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin 30°＝1. 答案：1或2

9．已知：在△ABC中，A＝45°，c＝6，a＝2，解此三角形．

6×2csin A3解析：＝ sin C＝a＝，

sin Csin A42

asin B

当C＝60°时，B＝75°，∴b＝3＋1.

sin Aasin B

当C＝120°时，B＝15°，∴b＝＝3－1.

sin A

10．在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状．

解析：由正弦定理得，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，由acos A＝bcos B得，sin Acos A＝sin Bcos B，

即sin 2A＝sin 2B，

∵2A、2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.

π

即A＝B或A＋B＝，

2

∴△ABC为等腰或直角三角形．

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1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦值越大所对的边就越长． 2．由正弦值得出角的大小时特别要注意的是一个解还是两个解．一般地，已知a，b，A解三角形时，只有当A为锐角且bsin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．

3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．

4．特别强调：把a＝2Rsin A，b＝2Rsin B代入已知等式，可将边角关系全部转化为三角函数关系．