第3节 向量组的线性相关性

i kij j , i 1, , t;j 1

s

j l jm m , j 1, , s.m 1

p

则对 i 1,2,3, , t ,

i kij ( l jm m ) kij l jm mj 1 m 1 j 1 m 1 s

s

p

s

p

kij l jm mm 1 j 1p

p

s kij l jm m m 1 j 1 即A可由C线性表示。

性质3对给定的n维向量组 构造新的n+1维向量组

1 (a11 , a12 , , a1n ),

1 (a11 , a12 , , a1n , a1n 1 ), s (as1 , as 2 , , asn , asn 1 ).

2 (a21 , a22 , , a2 n ), s (as1 , as 2 , , asn ).

2 (a21 , a22 , , a2 n , a2 n 1 ),

则 如果向量组 1 , 2 , , s 线性相关， 1 , 2 , , s也线性相关；

则 如果向量组 1 , 2 , , s 线性无关， 1 , 2 , , s也线性无关。

证明

x1 1 x2 2 xs s 0

a11 x1 a21 x2 a s1 x s 0 a12 x1 a22 x2 a s 2 x s 0 a x a x a x 0 2n 2 sn s 1n 1x1 1 x2 2 xs s 0

(*)

a11 x1 a21 x2 a s1 x s 0 (**) a x a x a x 0 n s a 1n 1x 2a 2 x sn a s , n 1 x s 0 2,n 1 2 1,n 1 1方程组(**)包含方程组(*)作为一部分，

于是方程组(**)的解都是方程组(*)的解。

1 , 2 , , s 线性相关 方程组(**)有非0解 方程组(*)有非0解 1 , 2 , , s 线性相关

1 , 2 , , s 线性无关 方程组(*)无非0解 方程组(**)无非0解 1 , 2 , , s 线性无关

注释3 由原向量构造新向量时，添加的分量都放在了最后， 事实上可放在任意位置(添加位置要相同) 反复应用上述结论就得到例3.9的结论。 命题3.4 假设向量组 1 , 2 , , m 线性无关， 且向量组 1 , 2 , , m , 线性相关, 则 可由 1 , 2 , , m唯一线

性表示。 推论3.5 假设向量组 1 , 2 , , m 线性无关， 不能 且 由 1 , 2 , , m 线性表示， 1 , 2 , , m , 线性无关。 则

例3.3(Ex5) 证明 由于行列式1 a1 n a1 1

范德蒙行列式

1 a2

1 an

1 i j n

(a j ai ) 0

n n a 2 1 an 1

从而对任意向量 , 于是向量组 1 , 2 , , n 线性无关， 由命题3.4结论成立。 向量组 1 , 2 , , n , 线性相关， 作业：P159 Ex2,3(1), 4(4), 6, 7