2.2.2直接证明与间接证明-反证法

2.2.2直接证明与间接 证明

—反证法

思考？A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为 什么？

分析:假设C没有撒谎,

则C真. 那么A假且B假;

由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.

反证法：

假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。

反证法的思维方法：正难则反

例1用反证法证明：

如果a>b>0,那么 a > b

证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b若 a = b,则a = b, 与已知a > b矛盾,若 a < b,则a < b, 与已知a > b矛盾,

故假设不成立，结论 a > b成立。

练一练： 已知a≠0,证明x的方程ax=b有 且只有一个根。证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，

不妨设其中的两根分别为x1,x2 且x1 ≠ x2 则ax1 = b,ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax 2 = 0 ∴a(x1 - x2) =0∵x1 ≠ x2,x1 - x2 ≠ 0

∴a = 0

与已知a ≠ 0矛盾,

故假设不成立，结论成立。

反思1:用反证法证题的一般步骤是什么？(1)假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立 。

(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 。

例2 求证： 2 是无理数。证：假设 2是有理数，

∴ m = 2n2

m 则存在互质的整数m,n使得 2 = , n 2 2

∴ m = 2n2 2

∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k(k∈N )

从而有4k = 2n ,即n = 2k ∴n2 也是偶数， 这与m,n互质矛盾！

2

假设不成立，故

2 是无理数。

练一练：

反思2:1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？ (1)与原命题的条件矛盾；

(2)与假设矛盾。 (3)与定义、公理、定理、性质矛盾；(4)与客观事实矛盾.

2、你认为反证法的使用情形有那些？(1)难于直接使用已知条件导出结论的命题； (2)唯一性命题； (3)“至多”或“至少”性命题；

(4)否定性或肯定性命题。

说明：常用的正面叙述词语及其否定：正面 词语 否定 正面 词语 等于 大于(>) 小于 (<) 是 都是

不等于 至多有 一个 至少有 两个

小于或 大于或 等于(≤) 等于(≥) 不是至少有 一个 一个也 没有 任意的 所有的

不都是 至多有n 个 任意 两个

否定

某个

某些

至少有n 某两个 +1个

思考：

小结

1.反证法是一种间接证明的方法，是 解决某些“疑难”问题的有力工具，其 基本思路是： 假设结论不成立→构设矛盾→否定假设 肯定结论.

2.反证法主要适用于以下两种情形： (1)所证的结论与条件之间的联系不 明显，直接有条件推出结论线索不清晰； (2)从正面

入手需要分成多种情形进 行讨论，而从反面证明，只要研究一种 或很少的几种情形.

练习： 1、 已知实数a,b,c满足0<a,b,c<1,求证： (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于1/4.

x 2 2、已知函数y a (a 1) x 1 (1)证明：函数f ( x)在区间(- 1, )上为增函数x

(2)用反证法证明：方程f(x) =0没有负根3、已知a+b+c>0,ab+ac+bc>0,abc>0,求证： a>0,b>0,c>0.

作业1:若p1 p2 = 2(q1 + q 2 ),证明:关于x的方程 x + p1x + q1 = 0与x + p 2 x + q 2 = 0中至少有一 个有实根.2 2

2:若a,b,c均为实数,且a = x - 2y + b = y - 2z +2

2

2

,

3 6 求证:a,b,c中至少有一个大于0.

,c = z - 2x +

2

,

直接证明与间接证明(习题课)