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微积分基本定理及其生活应用

发布时间：2024-11-02 来源：未知

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微积分基本定理及其生活应用

深大师院二附校唐丽

微积分基本定理及其生活应用

一、教材分析地位、作用： ⒈ 地位、作用：欧洲数学家们冲出了古希腊人“严格证明” 欧洲数学家们冲出了古希腊人“严格证明” 的圣殿，以直观推断的思维方式，的圣殿，以直观推断的思维方式，创立了被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学，格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学，微积分基本定理正是它的核心！微积分基本定理正是它的核心！

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2.教学重点、难点分析：教学重点、难点分析：重点：重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，度与位移的关系，发现微积分基本定理的雏进而把结论一般化,是这节课的重点. 形，进而把结论一般化,是这节课的重点. 难点：进一步引导学生应用定积分的基难点：本思想来探究问题，本思想来探究问题，同时利用导数的意义作为桥梁来转化被积函数是这节课的难点。为桥梁来转化被积函数是这节课的难点。

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⒊教学目标分析：教学目标分析：知识目标：使学生经历定理的发现过程，知识目标：使学生经历定理的发现过程，直观了解微积分基本定理的含义和几何意义，观了解微积分基本定理的含义和几何意义，并理解导数与定积分的互逆关系；解导数与定积分的互逆关系；通过计算两个简单的定积分，使学生体会微积分基本定理的优越性，的定积分，使学生体会微积分基本定理的优越性，理解微积分在数学史上举足轻重的地位。理解微积分在数学史上举足轻重的地位。

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能力目标：能力目标：让学生能够体会微积分运动变化地思维方式和初等数学中静态的思维方式的区别，方式和初等数学中静态的思维方式的区别，并且培养学生在探索过程中善于变通的思想，并且培养学生在探索过程中善于变通的思想，敢于挑战陈规的精神! 敢于挑战陈规的精神!

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情感目标：情感目标： A 揭示寻求计算定积分新方法的必要性揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲。激发学生的求知欲。 B 体会“以直代曲”——临渊羡鱼，不如退体会“以直代曲” 临渊羡鱼，临渊羡鱼而结网的思想。而结网的思想。 C 感受用近似无限接近精确的方法。感受用近似无限接近精确的方法。

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⒋教学方法和手段：教学方法和手段：尽管已是高中学生，尽管已是高中学生，但抽象的概念依然令学生望而生畏，令学生望而生畏，因此着眼于个别实例的研究，强调来龙去脉，淡化证明过程。学生既强调来龙去脉，淡化证明过程。不用面对极限、无穷项求和、导数、不用面对极限、无穷项求和、导数、积分综合难题的证

明，合难题的证明，又不失为良好的推导微积分基本定理的过程。基本定理的过程。

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二、学情分析：学情分析：⒈ 根据函数曲线图学生不难看出位移差s = s ( b ) s (a )

⒉由于学生刚学习了导数，知道导数的几何由于学生刚学习了导数，意义即为切线的斜率,路程对时间的导数即为意义即为切线的斜率路程对时间的导数即为速度 s′( t ) = v( t )

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二、学情分析：学情分析：汽车行驶的路程” ⒊ 上一节中刚学习了“汽车行驶的路程”,学生明白路程的计算实际上是一个求定积分的过程，生明白路程的计算实际上是一个求定积分的过程，的定积分。即对 v ( t ) 的定积分。⒋ 让学生再一次感受小区间不断细分对近似程度的影响，如何通过逐步逼近而求出定积分。的影响，如何通过逐步逼近而求出定积分。

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教学过程：教学过程：追根溯源： ⒈引题——追根溯源：公元3世纪诞生的刘徽著名的“割圆术” 公元3世纪诞生的刘徽著名的“割圆术”

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教学过程：教学过程：⒉情景设置：情景设置： ①首先让学生回顾计算 ∫ x1 0=

3

dx 的过程：的过程：

∫

x dx ≈ lim ∑ 0 n → ∞ i =13n

1

n

i f ( ) x n3

i 1 = lim ∑ ( ) n →∞ n i =1 n

1 1 2 1 = lim (1 + ) = n →∞ 4 n 4

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教学过程：教学过程：②接着动手利用定义计算 ∫12

∫

2

1

n 1 dx = lim ∑ f ( i ) x n x n →∞ i =1 n 1 1 = lim ∑ n →∞ i n i =1 n

1 dx x

③重复以上步骤学生遇到了麻烦；引导学生分析原因：了麻烦；引导学生分析原因：

和式难求. 和式难求.

=

1 4 5 1 = lim ∑ ④当被积函数是 x , x , x 3 n →∞ i =1 i 如何求呢？ 1 1 1 如何求呢？ = lim(1 + + + + ) n →∞ 2 3 n

n

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问题模型： ⒊探究——问题模型：探究问题模型如图，如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律由导数的概念可知，它在任意时刻t 是 s = s (t ) 由导数的概念可知，它在任意时刻t的速=

度是 v (t ) = s ′(t ) 。设这个物体在时间段[a, b] 内的位移为S 表示S 移为S,你能分别用 v (t ) , (t ) 表示S吗？ s

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观察图象得到物体的位移s 观察图象得到物体的位移s,即

s = s (b) s (a )

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分析:下面我们讨论如何用速度函数v(t)来表示位来表示位下面我们讨论如何用速度函数移s,因为在上一节“汽车行驶的路程”中，学，因为在上一节“汽车行驶的路程” 生知道了位移就是对速度函数v(t)的定积分，在的定积分，生知道了位移就是对速度函数的定积分此学生肯定会联想到只要知道了v(t), 不就解决了此学生肯定会联想到只要知道了吗？但是题目已知的只是路程函数s(t), 因此接但是题目已知的只是路程函

数s(t), 下来的关键在于建立v(t)与s(t)的关系。下面分与的关系。下来的关键在于建立的关系下面分8 个步骤来讨论：个步骤来讨论：

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hi = li sin α i

通过讨论发现山高

l

i

那么把所有 hi累加起来不正好就是山的高度吗？不正好就是山的高度吗？

αi以研究这小段山高为例：以研究这小段山高为例：)

∑

n

i =1

hi