高中数学专题突破(四)高考立体几何问题的求解策

新课标 ·文科数学(安徽专用)

重点考查线面平行和垂直的判定与性质；在线面平行中 要注意三角形中位线与平行四边形的应用，在线面垂直中要 注意线面垂直与面面垂直性质的应用. (2013·台州模拟)如图1,四边形 ABCD为矩形，AD⊥平面ABE, AE=EB=BC=2,F为CE上的点， 且BF⊥平面ACE,AC∩BD=G.菜 单

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(1)求证：AE⊥平面BCE; (2)求证：AE∥平面BFD;

(3)求三棱锥C—BGF的体积.【思路点拨】 (1)由线面垂直可得线线垂直，进而可

证线面垂直；(2)将证线面平行转化为证线线平行，而线线平 行可由三角形的中位线得到；(3)利用等积法求三棱锥C— BGF的体积.

【规范解答】

(1)∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,

∴BC⊥平面ABE,

菜

单

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则AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE,则AE⊥BF.∵BC∩BF

=B,∴AE⊥平面BCE. (2)依题意可知：G是AC中点.∵BF⊥平面ACE,则 CE⊥BF,而BC=BE. ∴F是EC中点.

在△AEC中，FG∥AE,又FG面BFD.

平面BFD.∴AE∥平

(3)∵AE∥FG,而AE⊥平面BCE.∴FG⊥平面BCE, ∴FG⊥平面BCF.菜 单

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1 ∵FG 是△AC 的 位 ， ∴FG= AE=1 E 中线 . 2 ∵BF⊥平面 ACE,∴BF⊥C. E 1 ∴Rt△B E 中 BF=CF= CE= 2, C , 2 1 ∴S△ C = · 2· 2=1, F B 2 1 1 ∴VC—B =VG—B = ·S△ C ·FG= . F G C F F B 3 3

菜

单

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【反思启迪】

1.立体几何中的“平行”与“垂直”问

题是新课标教材中的重要内容，本题通过线线平行证明线面 平行，通过线线垂直证明线面垂直，这是立体几何的常用手 段，体现了转化的思想. 2.我们利用等积法将不易于求高与底面积的体积计算 问题转化为易于求高与底面积的体积计算问题，从而顺利求 解.

菜

单

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(2013·徐州模拟)如图2,在四棱锥

P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的中点，作EF⊥PB交PB 于点F. (1)证明PA∥平面EDB; (2)证明PB⊥平面EFD;

菜

单

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【证明】连结EO.

(1)连结AC交BD于O,

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点. 在△PAC中，EO是中位线， ∴PA∥EO, 而EO 平面EDB且PA 所以，PA∥平面EDB. (2)∵PD⊥底面ABCD且DC 底面ABCD, 平面EDB,

∴PD⊥DC,菜 单

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∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是

斜边PC的中线，∴DE⊥PC.同理由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.

①

∵ 底 面 ABCD 是 正 方 形 ， 有 DC⊥BC , ∴ BC⊥ 平 面 PDC. 而DE 平面PDC,∴BC⊥DE. ②

由①和②推得DE⊥平面PBC. 而PB 平面PBC,∴DE⊥PB.

又∵EF⊥PB

,EF∩DE=E,∴PB⊥平面EFD.

菜

单

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面面垂直的判定与性质是高考重点考查的内容，在证明 和应用时应注意线面垂直与面面垂直的相互转化，在面面平

行关系中，应注意面面平行与线面平行关系的转化.(2013·日照模拟)如图3, 已知正方体ABCD—A1B1C1D1, 过BD1的平面分别交棱AA1和 棱CC1于E、F两点. (1)求证：A1E=CF;菜 单

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(2)若E、F分别是棱AA1 和棱CC1 的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1D. 【思路点拨】 (1)充分利用正方体的对称性，可通过 三角形全等证明A1E=CF;(2)由E、F是正方体对棱的中 点，可得四边形EBFD1为菱形，从而得到线线垂直，问题将 迎刃而解. 【规范解答】 (1)由题知，平面EBFD1 与平面BCC1B1

交于BF,与平面ADD1A1交于ED1.又平面BCC1B1∥平面ADD1A1,∴D1E∥BF, 同理BE∥D1F.菜 单

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∴四边形EBFD1为平行四边形，∴D1E=BF, ∵A1D1=CB,D1E=BF,∠D1A1E=∠BCF=90°,

∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF,∴A1E=CF.(2)在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，∵四边形EBFD1 是平 行四边形.AE=A1E,FC=FC1, ∴Rt△EAB≌Rt△FCB,∴BE=BF,故四边形EBFD1 为菱形. 连 结 EF 、 BD1 、 A1C1.∵ 四 边 形 EBFD1 为 菱 形 ， ∴EF⊥BD1,菜 单

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在 正 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中 ， 有 B1D1⊥A1C1 ,B1D1⊥A1A, ∴B1D1⊥平面A1ACC1. 又 EF 平 面A1ACC1 ,∴ EF⊥B1D1.又B1D1∩BD1 = 平面EBFD1,故平面EBFD1⊥平面BB1D1D. 证明面面垂直的关键是证明线面垂直， D1,∴EF⊥平面BB1D1D. 又EF

【反思启迪】

而线面垂直又是通过线线垂直实现的，充分利用正方体的对称性，通过证明四边形EBFD1是菱形证明线线垂直是本题证 明的关键.菜 单

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(2013· 南京模拟)如图 4,四边形 ABCD 是矩形，平面 ABCD⊥平面 BCE,BE⊥EC. (1)求证：平面 AEC⊥平面 ABE; (2)点 F 在 BE 上.若 DE∥平面 ACF, BF 求 的值. BE

【解】

(1)证明

因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC.

因为平面ABCD⊥平面BCE,

平面ABCD∩平面BCE=BC,AB所以AB⊥平面BCE.菜 单

平面ABCD,

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因 CE 平 B E , 以 CE⊥A. 为 面 C 所 B 因 CE⊥BE,AB 平面 AE , 为 B BE 平 AE ,AB∩BE=B, 面 B 所 CE⊥平 AE 以 面 B. 因 CE 平 AC , 为 面 E 所平 以面 AC ⊥平 AE E 面 B. 2 连结 BD 交 AC 于 O, 结 O. () 点 连 F 因 DE∥平 ACF,DE 平 B E , 面 为 面 面 D 平 面 B E =OF, D 所 DE∥O. 以 F 又为形 因矩 AC B D 中 O 为 BD 中 ， , 点 BF 1 所 F 为 BE 中 ， 以 点即 = . BE 2菜 单

AF ∩平 C

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与位置关系有关的

探索性问题在高考中时常出现，求解

时应从结论出发.分析结论成立需要哪些条件，哪些条件已满足，那些未满足的条件，正是我们探索条件是否具备的依 据. (2013·潍坊模拟)如图5, 在四面体PABC中，PC⊥AB,

PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.

菜

单

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(1)求证：DE∥平面BCP;(2)求证：四边形DEFG为矩形； (3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离 相等？说明理由. 【思路点拨】 (1)通过线线平行证明线面平行；(2)先

证明四边形DEFG为平行四边形，再证明其为矩形；(3)充分利用“中点”的特征进行推证. 【规范解答】 所以DE∥PC. 又因为DE 平面BCP, (1)因为D,E分别为AP,AC的中点，

所以DE∥平面BCP.菜 单

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(2)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点， 所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF. 所以四边形DEFG为平行四边形. 又因为PC⊥AB, 所以DE⊥DG. 所以四边形DEFG为矩形. (3)存在点Q满足条件，理由如下： 连结DF,EG,设Q为EG的中点.

由(2)知，DF∩EG=Q,菜 单

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1 且 QD=QE=QF=QG= E. G 2 分别取 PC,AB 的中点 M,N, 连结 ME,EN,NG,MG,M . N 与( 同 ， 证 边 2 理可四形 ) MN EG 为形 矩， 其角交为 对线点 EG 的 点 Q, 中 1 且 QM=QN= EG, 2 所以 Q 为 足 件 点 满条的.

菜

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【反思启迪】

1.在立体几何的平行关系问题中，“中

点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”,连“中 点”,即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本. 2.第(3)问为一个探索性问题，通常的处理方法是假设 存在满足条件的点(或其他几何量),利用题设条件进行计算

或证明，如果推出矛盾，则不存在；如果推不出矛盾，就说明存在，同时解题的过程就是说理的过程.

菜

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(2013· 福州模拟)在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC,AB=1, AD= 3,AB⊥BC,CD⊥BD,如图 6(1).把△ABD 沿 BD 翻折，使得平面 A′BD⊥平面 BCD,如图 6(2).

(1)求证：CD⊥A′B;

(2)求三棱锥A′—BDC的体积；菜 单

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3 在 段 BC 上 否 在 () 线 是存点 N, 使 得 A ⊥BD?若存在， N ′ BN 请求出 的 ； 不 在 请 明 由 值若存，说理. BC【】 解 1 证 () 明 ∵平 AD ⊥平 B D , 面 B ′ 面 C 平 AD ∩平 B D =BD,CD⊥BD, 面 B ′ 面 C ∴CD⊥平 AD , 面 B ′ 又∵A B ′ 平 AD ,∴CD⊥A. 面 B ′ B ′ 2 如图() , Rt△AD 中 BD= AB2+AD2=2. () 1 在 B , ∵AD∥BC,∴ ADB=∠DC =30°. ∠ B 2 3 在 Rt△B C 中 DC=BDt3 D , a0 n °= .

3 1 2 3 ∴S△B = BD·DC= . D C 2 3菜 单