1994年考研数学试题详解及评分参考

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考1994 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考数 学（试卷一）一、填空题： （本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） (1) lim cot x(x ®01 1 - )= sin x x.【答】 应填 1 / 6. 【解】 原式 = lim[cos x ×x ®0 1 2 x - sin x x - sin x 1 - cos x 1 2 x ] = lim = lim = lim = . 3 2 2 2 x ®0 x ®0 x ®0 6 x x sin x 3x 6 x(2) 曲面 z - e z + 2 xy = 3 在点 (1,2,0) 处的切平面方程为 【答】 应填 2 x + y - 4 = 0..【解】 记 F ( x, y, z) = z - ez + 2 xy - 3 ，则 Fx¢(1, 2, 0) = 4 ， Fy¢(1, 2, 0) = 2 ， Fz¢(1, 2, 0) = 0 于是过点 (1,2,0) 的切平面方程为 4( x - 1) + 2( y - 2) = 0 ，即 2 x + y - 4 = 0. (3) 设 u = e - x sinx ¶ 2u 1 . ，则 在 (2, ) 点处的值为 y ¶x¶y p p 2 【答】 应填 ( ) . e ¶u x x 1 1 x x 【解】 因 = -e- x sin + e - x cos × = e- x ( cos - sin ) ，故 ¶x y y y y y y ¶ 2u 1 x 1 x x x x = e- x [- 2 cos - sin × (- 2 ) - cos × (- 2 )] ，于是 ¶x¶y y y y y y y y ¶ 2u ¶x¶y1 (2, ) pp = e-2 (-p 2 cos 2p + 2p 3 sin 2p + 2p 2 cos 2p ) = ( )2 . e2 2 2 (4) 设区域 D 为 x + y £ R ，则òò (Dx2 y2 + ) dxdy = a2 b2.1 1 4 1 【答】 应填 p R ( 2 + 2 ). 4 a b【解】 因 D 关于直线 y = x 对称，故 òò (Dx2 y2 + ) dxdy = a2 b22 2òò (Dy2 x2 + ) dxdy ，于是 a2 b2òò ( aDx2 2+y 1 x y y x )dxdy = [ òò ( 2 + 2 )dxdy + òò ( 2 + 2 )dxdy ] 2 b 2 D a b a b D1994 年 第 1 页222

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考R 1 1 1 1 1 1 2p 1 1 1 = × ( 2 + 2 ) òò ( x 2 + y 2 )dxdy = ( 2 + 2 ) ò dq ò r 2 × rdr = p R 4 ( 2 + 2 ). 0 2 a b D 2 a b 0 4 a b 1 1 设 A = a¢ b ， 其中 a ' 是 a 的转置， 则 An = (5) 已知 a = (1,2,3) ，b = (1, , ) ， 2 3 é1 1/ 2 1/ 3 ù ê 【答】 应填 2 1 2 / 3ú ê ú. ê3 3 / 2 1 û ú ë.【解】 由 a = (1,2,3) ， b = (1,1 1 , ) ，知 ba ¢ = 3 ，于是有 2 3 An = (a ¢b )(a ¢b )L (a ¢b ) = a ¢( ba ¢)( ba ¢)L ( ba ¢) b = ( ba ¢) n-1 × a ¢b æ1ö é1 1/ 2 1/ 3 ù 1 1 n -1 ç ÷ n -1 ê = 3 ç 2 ÷ (1 ) = 3 ê2 1 2 / 3ú ú. 2 3 ç 3÷ ê è ø ë3 3 / 2 1 ú û二、选择题： （本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）p 2 p 2 p p sin x 4 3 4 2 3 4 2 cos xdx , N (sin x cos x ) dx , P = + = ò-p2 ò-2p2 ( x sin x - cos x)dx, 1 + x2(1) 设 M =ò则有 (A) N < P < M 【答】 应选 (D) .(B) M < P < N(C) N < M < P(D) P < M < N【解】 根据奇函数和偶函数在关于原点的对称区间上定积分的性质，知 于是有 P < M < N ， M = 0 ，N = ò 2p cos 4 xdx > 0 ，P = - ò 2p cos 4 xdx < 0 ， 故选 (D) .2 2pp(2) 二元函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数 f x¢ ( x0 , y 0 ) , f y¢ ( x0 , y 0 ) 存在，是 f ( x, y ) 在 该点连续的 (A) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 【答】 应选 (D) . (B) 必要条件而非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件ì xy 2 2 ï x2 + y 2 , x + y ¹ 0 【解】 取 f ( x, y) = í ，易见 f x¢(0, 0), f y¢(0,0) 存在，但 f ( x, y ) 在 2 2 ï0, x +y =0 î (0, 0) 不连续，因而偏导数存在不是 f ( x, y ) 连续的的充分条件； 又取 f ( x, y ) = x + y ，易见 f ( x, y ) 在点 ( 0, 0 ) 处连续，但 f x¢(0, 0) 与 f y¢(0,0) 都不存在，因而偏导数存在不是 f ( x, y ) 连续的必要条件，故选 (D) .1994 年 第 2 页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考(3) 设常数 l >0，且级数 (A) 发散 【答】 应选 (C) . 【解】 因 ( -1) ×n ¥åan =1¥2 n收敛，则级数 å (-1) n ×n =1¥| an |(B) 条件收敛n2 + l (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与 l 有关| an | n2 + l=¥ 1 2 1 1 2 1 2 £ (an + 2 ) £ (an + 2 ) ，而级数 å an 与 2 2 n + l 2 n n =1 n +l| an |¥ 1 | an | 均收敛 ， 所以 绝对收敛. 故选 (C) . (-1) n × å å 2 n =1 n n =1 n2 + l a tan x + b(1 - cos x) (4) 设 lim = 2 ，其中 a 2 + c 2 ¹ 0 ，则必有 - x2 x ®0 c ln(1 - 2 x) + d (1 - e ) (A) b = 4d (B) b = -4d (C) a = 4c (D) a = -4c【答】 应选 (D) . 【解】 由 limx ®0a tan x + b(1 - cos x) c ln(1 - 2 x) + d (1 - e - x )2= lima sec 2 x + b sin x a = - = 2 ，知 a = -4c ， 2 x ® 0 -2c 2c + 2 xde - x 1 - 2x故选 (D) . (5) 已知向量组 a1 , a 2 , a 3 , a 4 线性无关，则向量组 (A) a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a 3 + a 4 , a 4 + a1 线性无关 (B) a1 - a 2 , a 2 - a 3 , a 3 - a 4 , a 4 - a1 线性无关 (C) a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a 3 + a 4 , a 4 - a1 线性无关 (D) a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a 3 - a 4 , a 4 - a1 线性无关 【答】 应选 (C) . 【解】 由于对选项(A)，有 (a 1 + a 2 ) - (a 2 + a 3 ) + (a 3 + a 4 ) - (a 4 + a 1 ) = 0 ； 对选项(B)，有 (a 1 - a 2 ) + (a 2 - a 3 ) + (a 3 - a 4 ) + (a 4 - a 1 ) = 0 ； 对选项(D)，有 (a 1 + a 2 ) - (a 2 + a 3 ) + (a 3 - a 4 ) + (a 4 - a 1 ) = 0 ； 因此选项(A)、 (B)、 (D)中给出的 4 个向量均线性相关，故选 (C) . 三、 （本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分）2 ì p dy d 2 y ï x = cos( t ) t2 (1) 设 í ， 求 , 2 在t = 的值. 2 1 y = t cos(t ) - ò 2 u cosudu , dx 2 dx ï 1 î dx dy 解：因 = -2t sin(t 2 ), = -2t 2 sin ( t 2 ) , dt dt……2 分1994 年 第 3 页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考dy d 2 y (t ) 't 1 故 = t, 2 = =, dx dx x 't 2t sin(t 2 )所以 dy dxt=……4 分 ……5 分p 2=p d2y , 2 ¶x 2p t= 2=-1 . 2p(2) 将函数 f ( x) =1 1+ x 1 ln + arctgx - x 展开成 x 的幂级数. 4 1- x 2 ¥ 1 1 1 1 1 1 解： 因 f ¢( x ) = ( + )+ 1 = 1 = x 4 n , (-1 < x < 1) å 4 1 + x 1 - x 2 1 + x2 1- x4 n =1……3 分且 f (0) = 0 故 f ( x) = f ( x) - f (0) = (3) 求òx0f '(t )dt = ò (å t 4 n )dt = åx 0 n =1¥x 4 n +1 (-1 < x < 1) . ……5 分 n =1 4n + 1¥ò sin(2 x) + 2 sin x……2 分dxx d dx 1 解一 原式 = ò 2sin x(cos x + 1) = 4 ò x 2 3 x sin cos 2 2 x x dtg 1 + tg 2 1 1 2 2 d (tg x ) = ò = 4 tg x cos 2 x 4 ò tg x 2 2 2 2 x 1 2x 1 = tg + ln tg + C . 8 2 4 2 dx sin xdx 解二 原式 = ò =ò 2sin x(cos x + 1) 2(1 - cox 2 x)(1 + cos x) du 1 1 3+u cos x = u - 1 ( + )du 2 =ò ò 2 (1 - u )(1 + u ) 8 1- u 1+ u2 1 2 = [ln 1 - u - ln 1 + u + ]+ C 8 1+ u 1 2 = [ln(1 - cos x) - ln(1 + cos x) + ]+C . 8 1 + cos x四、 （本题满分 6 分）……4 分……5 分 ……2 分 ……4 分……5 分xdydz + z 2 dxdy ，其中 S 是由曲面 x 2 + y 2 = R 2 及两平面 2 2 2 òò x +y +z S z = R, z = - R ( R > 0) 所围成立体表面的外侧.计算曲面积分1994 年 第 4 页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考解：设 S1 ,S2 ,S3 依次为 S 的上、下底和圆柱面部分，则òò xs12xdydz xdydz = òò 2 =0. 2 2 +y +z x + y2 + z2 s2……1 分记 S1 , S2在xOy面上的投影区域为D xy , 则S1 + S2òòz 2 dxdy R 2 dxdy (- R) 2 dxdy = òò x 2 + y 2 + R 2 Dxy òò x 2 + y 2 + R 2 = 0 . x 2 + y 2 + z 2 Dxyz 2 dxdy = 0, x2 + y2 + z 2……2 分 ……3 分在S3上, òòS3记S3在yOz平面上的投影区域为Dyz , 则R 2 - y 2 dydz R 2 - y 2 dydz R 2 - y 2 dydz xdydz = = 2 2 2 2 òò òò R 2 + z 2 òò òò R2 + z 2 R2 + z 2 S3 x + y + z Dyz Dyz Dyz= 2òR -RR 2 - y 2 dy òdz p2 1 = R, 所以, 原积分 = p 2 R . -R R2 + z2 2 2R……6 分五、 （本题满分 9 分） 设 f ( x) 具有二阶连续导数， f (0) = 0, f ¢(0) = 1 ，且[ xy(x + y) - f (x) y]dx + [ f ¢(x) + x2 y]dy = 0 为一全微分方程,求 f ( x) 及此全微分方程的通解.解：由全微分方程的充要条件 ¶P = ¶Q ，知 ¶y ¶xx 2 + 2 xy - f ( x) = f ''( x) + 2 xy ，即 f ''( x) + f ( x) = x 2 .解得 f ( x) = C1 cos x + C2 sin x + x - 2 . ……5 分2……2 分由 f (0) = 0, f '(0) = 1 ,求得 C1 = 2, C2 = 1 ,从而有 f ( x) = 2 cos x + sin x + x 2 - 2 .……6 分 于是原方程为 [ xy 2 - (2cos x + sin x) y + 2 y ]dx + ( -2sin x + cos x + 2 x + x 2 y )dy = 0 ， 其通解是 -2 y sin x + y cos x + 六、 （本题满分 8 分） 设 f ( x) 在点 x = 0 的某一邻域内具有二阶连续导数，且 limx®0x2 y2 + 2 xy = C . 2……9 分f ( x) = 0 ，证明：级 数 xå f ( n ) 绝对收敛..n =1¥1证：由题设推知 f (0) = 0, f '(0) = 0 .……2 分f ( x)在点x = 0的某邻域内的一阶Taylor展开式为 1 1 f ( x ) = f (0) + f '(0) x + f ''(q x) x 2 = f ''(q x ) x 2 (0 < q < 1) . 2! 21994 年 第 5 页……5 分

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考再 由题设 , f ''( x )在 属 于该 邻 域 内包含 原点的 一小闭 区间上连 续 ,故存在 M >0, M 2 1 1 M 1 ……7 分 x . 令x = , 当n充分大时, 有 f ( ) £ × 2 . 使 f ¢¢( x) £ M , 于是 f ( x) £ 2 n n 2 n ¥ ¥ 1 1 因为 å 2 收敛, 所以级 数 å f ( )绝 对 收敛. ……8 分 n n =1 n n =1七、 （本题满分 6 分） 已知点 A 与 B 的直角坐标分别为( 1 , 0 , 0 ) 与 ( 0 , 1 , 1 ) ， 线段 AB 绕 Z 轴旋转一周所成的 旋转曲面为 S，求由 S 及两平面 Z = 0 , Z = 1 所围成的立体体积.. 解：直线 AB 的方程为：ìx = 1- z x -1 y z = = ,即 í .……2 分 -1 1 1 î y=z在 z 轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得截面为一个圆， 此截面与 z 轴交于点 Q(0,0,z),与 AB 交于点 M 1 (1 - z , z , z ) ， 故圆截面半径 r ( z ) =1(1 - z ) 2 + z 2 = 1 - 2 z + 2 z 2 .2 2……4 分从而截面面积 S ( z ) = p (1 - 2 z + 2 z ), 旋转体体积 V =pò (1 - 2 z + 2 z02 )dz = p . 3……6 分八、 （本题满分 8 分） 设四元线性齐次方程组(I)为 í k 1 ( 0, 1, 1, 0 )T + k 2 ( –1, 2, 2, 1 )T. (1) 求线性方程组(I)的基础解系. 【 (0, 0,1, 0) ， (-1,1, 0,1)T Tì x1 + x2 = 0 ，又已知某线性齐次方程组(II)的通解为 î x 2 - x4 = 0】(2) 问线性方程组(I)及(II)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解； 若没有，则说明理由.æ1 1 0 0 ö ÷， è 0 1 0 -1 ø 故(I)的基础解系可取为 (0, 0,1, 0) ， (-1,1, 0,1) .解：(1) 由已知，(I)的系数矩阵为 ç (2) 有非零公共解. 将(II)的通解代入方程组(I)，则有 í 当 k1 = - k2 ¹ 0 时，则向量……3 分ì- k2 + k1 + 2k2 = 0 ，解得 k1 = - k2 . îk1 + 2k2 - k2 = 0……5 分k1 (0,1,1, 0) + k2 (-1, 2, 2,1) = k2 [(0, -1, -1, 0) + (-1, 2, 2,1)] = k2 (-1,1,1,1) 满足方程组(I) （显 然是(II)的解） ，故方程组（I） （II）有非零公共解，所有非零公共解是 k ( -1,1,1,1) ，其中 k 是1994 年 第 6 页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考不为 0 的任意常数. 九、 （本题满分 6 分）* *……8 分设 A 为 n 阶非零方阵， A 是 A 的伴随矩阵， A¢ 是 A 的转置矩阵，当 A = A¢ 时，证明 |A| ¹ 0 . 解：由公式 AA* =| A | I ，故 AA¢ =| A | I . 即 a i = 0, i = 1, 2, L, n .于是 A = 0 ，这与 A 是非零阵矛盾，故 | A |¹ 0 . 十、填空题： （本题共 2 小题，每小题 3 分，满分 6 分） (1) 已知 P ( AB ) = P ( A B ) ， P ( A) = p ，则 P ( B ) = 【答】 应填 1 - p. 【解】 因 P( AB) = P( A) - P( AB) = P( A) - [ P( B) - P( AB)] = 1 - P( A) - P( B) + P( AB) ， 故由 P ( AB ) = P ( A B ) ，知 1 - P( A) - P( B) = 0 ，即 P ( B ) = 1 - P ( A) ，亦即 P(B) = 1- p . (2) 设相互独立的随机变量 X 、Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为 . ……2 分 若 | A |= 0 ，则有 AA¢ = 0 .设 A 的行向量为 a i (i = 1, 2,L n) ，则 a ia i¢ = 0 (i = 1, 2, L, n) ， ……6 分X P01 211 2则随机变量 Z = max{ X , Y } 的分布律为：1 3 ， P{Z = 1} = . 4 4 【解】 因 X , Y 同分布，且都是只取 0,1 两个数值，故 Z 的所有可能取值为 0 和 1 ， 故由 X , Y 相互独立，知 P{Z = 0} = P{max( X , Y ) = 0} = P{ X = 0, Y = 0} = P{X = 0} × P{Y = 0} = 1/ 4 ， 1 3 P{Z = 1} = 1 - P{Z = 0} = 1 - = . 因此 Z = max{ X , Y } 的分布律为： 4 4 0 X 1【答】 应填 P{Z = 0} =P十一、 （本题满分 6 分）1 43 4若随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N ( 1 , 3 2 ) 和 N ( 0 , 4 2 ) ，且 X 与 Y 的相关系数r XY = -1 X Y ，设 Z = + ， 2 3 2(1) 求 Z 的数学期望 EZ 和和方差 DZ； (2) 求 X 与 Z 的相关系数 r X Z ； (3) 问 X 与 Z 是否独立？为什么？1994 年 第 7 页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考1 0 1 + = ， 3 2 3 32 42 1 3 4 DZ = 2 + 2 + 2(- ) × × = 1 + 4 - 2 = 3 . 3 2 2 3 2解：(1) EZ = (2) 因 Cov( X , Z ) = 所以 r XZ =……1 分 ……2 分1 1 1 1 1 Cov( X , X ) + Cov( X , Y ) = × 32 + (- ) × 3 × 4 = 0 ， 3 2 3 2 2……4 分Cov( X , Z ) DX DZ= 0.(3) 因 X , Y 均是正态，故 Z 也是正态，又 r XZ = 0 ，所以 X 与 Z 相互独立. ……6 分 须以二元正态分布为前提】 【笔者注： 第(3) 问原始答案有误.要由 r XZ = 0 推出 X 与 Z 独立，数 学（试卷二）一、填空题： 【 同数学一 第一题 】 二、选择题： 【 同数学一 第二题 】 三、 （15 分） 【 同数学一 第三题 】 四、(本题共 2 小题，每小题 6 分，满分 12 分) (1) 在椭圆 x 2 + 4 y 2 = 4 上求一点，使其到直线 2 x + 3 y - 6 = 0 的距离最短.2 2 解：设 P ( x, y ) 为椭圆 x + 4 y = 4 上任意一点，则 P 到直线 2 x + 3 y - 6 = 0 是距离d=2x + 3 y - 6 13为求 d 的最小值点，只需求 d 的最小值点2……2 分1 (2 x + 3 y - 6)2 + l ( x 2 + 4 y 2 - 4) ，由 Lagrange 乘数法，有 13 ì4 ï13 (2 x + 3 y - 6) + 2l x = 0 ï ¶F ¶F ¶F ï6 = 0, = 0, = 0 . 即 í (2 x + 3 y - 6) + 8l y = 0 ……4 分 ¶x ¶y ¶l ï13 x2 + 4 y 2 - 4 = 0 ï ï î 8 3 8 3 1 11 , d½ ， 解之得 x1 = , y1 = ; x2 = - , y2 = - .于是 d½ ( x1 , y1 ) = ( x2 , y2 ) = 5 5 5 5 13 13 8 3 由问题的实际意义知最短距离是存在的,因此 ( , ) 即为所求的点 ……6 分 5 5令 F ( x, y , l ) = (2)【 同数学一 第四题 】1994 年 第 8 页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考五 ~ 七、 【 同数学一 第五 ~ 七题】 八、 （本题共 2 小题，满分 14 分） (1) (本题满分 6 分) 设 A 是 n 阶方阵， 2, 4, 6, L, 2n 是 A 的 n 个特征值， I 是 n 阶单位阵， 计算行列式 A - 3I 的值. 解：已知 n 阶方阵有 n 个不同的特征值，故存在可逆阵 P ，使得æ2 ö æ2 ö ç ÷ ç ÷ 4 4 -1 ç ÷ ç ÷ P -1 . P AP = ，即 A = P ……2 分 ç ÷ ç ÷ O O ç ÷ ç ÷ 2n ø 2n ø è è æ2 ö æ2 ö ç ÷ ç ÷ 4 4 ÷ P -1 - 3I = P ç ÷ P -1 - 3PP -1 ……4 分 因此 A - 3I = P ç ç ÷ ç ÷ O O ç ÷ ç ÷ 2n ø 2n ø è è -1 éæ 2 ö æ1 öù 1 êç ÷ ç ÷ú 4 1 -1 ê ú ç ÷ ç ÷ =P -3 P =P P-1 3 êç ÷ ç O O ÷ú O êç ÷ ç ÷ú 2n ø è 1 øû êè ú ë 2n - 3 = -[(2n - 3)!!] . ……6 分【笔者另解】 ：因 A 的 n 个特征值为 2, 4, 6, L, 2n ， 故 I - 3I 的 n 个特征值为： -1,1,3, L, 2n - 3 ，所以 A - 2 I = -1´ 1´ 3 ´ L´ (2n - 3) = -[(2n - 3)!!] （2） （本题满分 8 分） 【 同数学一 第八题 】 九、 （本题满分 6 分） 【 同数学一 第九题 】数 学（试卷三）一、填空题： （本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）ì sin 2 x + e 2 ax - 1 , x¹0 ï (1) 若 f ( x) = í 在 ( -¥, +¥ ) 上连续，则 a = x ï a, x=0 î1994 年 第 9 页.

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考【答】 应填 -2. 【解】 因 f ( x) 在 ( -¥, +¥ ) 上连续，故 lim f ( x) = f (0) = a ，而x ®0sin 2 x e 2 ax - 1 + ) = 2 + 2a ，于是 a = -2. x ®0 x ®0 x x ì x = t - ln(1 + t ) d2y = (2) 设函数 y = y ( x) 由参数方程 í 所 确 定，则 . 3 2 dx 2 îy = t + t 【答】 应填 (6t + 5)(t + 1) / t . lim f ( x) = lim2 axsin 2 x + e x ®0 x-1= lim(【解】 因 于是 (3)dy dx dy dy / dt 3t 2 + 2t = 3t 2 + 2t , = 1 - (1 + t )-1 , 故 = = = 3t 2 + 5t + 2 , -1 dt dt dx dx / dt 1 - (1 + t )d 2 y d dy dt 1 (6t + 5)(t + 1) = ( ) × = (6t + 5) × = . 2 -1 dx dt dx dx 1 - (1 + t ) td cos3 x [ f (t )dt ] = . dx ò0 【答】 应填 -3sin(3 x) × f (cos 3 x). d cos3 x 【解】 [ f (t )dt ] = f (cos 3x) × (cos 3 x)¢ = -3sin(3 x) × f (cos 3 x). dx ò0(4)òx e3 x2dx =.【答】 应填2 1 2 ( x - 1)e x + C. 2 1 2 1 2 x2 1 2 3 x2 x2 x2 2 x2 【解】 ò x e dx = ò x d (e ) = ( x e - ò e dx ) = ( x - 1)e + C. 2 2 2(5) 微分方程 ydx + ( x 2 - 4 x)dy = 0 的通解为 【答】 应填 y = C4.x . 4- x dy dx 1 x 1 【解】分离变量，有 = ，两边积分，得 ln y = ln + lnC ， y x(4 - x) 4 4- x 4 x 4 故所求通解为 y = C . 4- x二、选择题： （本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）(1) 设 limln(1 + x) - (ax + bx 2 ) = 2 ，则 x®0 x2 5 (A) a = 1, b = (B) a = 0, b = -2 2(C) a = 0, b = -5 2(D) a = 1, b = -21994 年 第 10 页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考【答】 应选 (A) .ln(1 + x) - (ax + bx 2 ) ln(1 + x) - (ax + bx 2 ) = 2 ， 知 lim = 0 ，即1 - a = 0 ， x®0 x®0 x x2 亦即 a = 1 ；于是由洛必达法则，有 ln(1 + x) - (1× x + bx 2 ) (1 + x)-1 - 1 - 2bx -(1 + 2b) - 2bx 1 lim = lim = lim = - -b = 2 ， 2 ® 0 ® 0 x®0 x x x 2x 2(1 + x) 2 因而 b = -5 / 2 ，故选 (A) . ì2 3 ï x , x £1 (2) 设 f ( x) = í 3 ，则 f ( x) 在 x = 1 处的 2 ï îx , x > 1【解】 由 lim (A) 左、右导数都存在 (C) 左导数不存在，但右导数存在 【答】 应选 (B) . 【解】 由 lim 2 3 2 2 f ( x) - f (1) 3 x - 3 = lim = lim( x 2 + x + 1) = 2 ，及 x ®1 x ®1 x -1 x -1 3 x®1x2 - 2 f ( x) - f (1) 3 lim lim = = ¥ ，知 f -¢(1) = 2 ， f +¢(1) 不存在，故选 (B) . x ®1+ x ®1+ x - 1 x -1(B) 左导数存在，但右导数不存在 (D) 左、右导数都不存在(3) 设 y = f ( x) 是满足微分方程 y" + y ' - e sin x = 0 的解，且 f ' ( x0 ) = 0 ，则 f ( x) 在 (A) x0 的某个邻域内单调增加 (C) x0 处取得极小值 【答】 应选 (C) . 【解】 由题意， f ( x) 满足方程 f ¢¢( x) + f ¢( x) - esin x = 0 ，故由 f ' ( x0 ) = 0 ，知 (B) x0 某个邻域内单调减少 (D) x0 处取得极大值f ¢¢( x0 ) = esin x0 - f ¢( x0 ) = esin x0 > 0 ，可见 f ( x) 在驻点 x0 处取得极小值. 故选 (C) .1(4) 曲线 y = e x arctan2(A)1条0x2 + x-1 的渐近线有 ( x + 1) ( x - 2) (B) 2 条 (C) 3 条(D)4条【答】 应选 (B) .【解】 由 lim y = e ´ arctan1 =p p ，知曲线有一条水平渐近线 y = ，且没有斜渐近线； x ®¥ 4 4 1 又易见函数只可能在 x = 0, x = -1, x = 2 处间断，而 lim y = +¥ × arctan( - ) = -¥ ， x ®0 2 p p lim y = e × arctan(-¥) = - e ， lim+ y = e × arctan(+¥) = e ， ®x ®-1x 1 2 21994 年 第 11 页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考1 p 1 p 1 4 4 lim y = e × arctan(-¥) = - e ， lim+ y = e × arctan(+¥) = e 4 ， x ® 2x®2 2 2 所以曲线只有一条铅直渐近线 x = 0 ，因而曲线共有两条渐近线，故选 (B) . 1 4(5) 【 同数学一 第二、 （1）题 】 三、 （本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）d2y (1) 设 y = f ( x + y ) ，其中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 . dx 2 f' 解： y ' = (1 + y ') f ', y ' = ……2 分 1- f ' (1 + y ') 2 f '' f '' y '' = (1 + y ') 2 f ''+ y '' f ', y '' = = . ……5 分 1- f ' (1 - f ')3(2) 计算ò130x(1 - x 4 ) 2 dx .2解：设 x = sin t ，则 x = 0 时， t = 0 ； x = 1 时， t =p . 2……1 分\ ò x(1 - x 4 ) 2 dx =013(3) 计算 lim tg (n ®¥np 2 + ). 4 n1 p 2 cos 4 tdt ……3 分 ò 0 2 1 3 p 3p = × × = . ……5 分 2 4 × 2 2 322 2 1 + tg 2tg p 2 n n = lim n ln[1 + n ] 解： lim ln tg ( + ) = lim n ln ®¥ ®¥ n ®¥ n n 2 2 4 n 1 - tg 1 - tg n n 2 2 2tg tg 4 n = lim n = 4 ,\ lim tg n ( p + 2 ) = e 4 . = lim n n ®¥ n ®¥ 2 n®¥ 2 2 4 n 1 - tg 1 - tg n n n(4) 【 同数学一 第三、(4) 题】 (5) 如图,设曲线方程为 y = x +2……2 分……5 分1 ,梯形 OABC 的面积为 D，曲边 2 梯形 OABC 的面积为 D 1 ， 点 A 的坐标为 （ a,0) ，a > 0 ， 证明：D 3 < . D1 21994 年 第 12 页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考证：D1 =òa01 a 3 a (2a 2 + 3)a ( x + )dx = + = 2 3 2 62……2 分1 1 + a2 + 2 2 a = (a + 1)a D= 2 2 2 2 (a + 1)a 3 a2 + 1 D 2 = = . D1 (2a 2 + 3)a 2 a 2 + 3 2 6四、 （本题满分 9 分） 设当 x > 0 时，方程 kx +……3 分Qa2 + 1 D 3 < 1, \ < . 3 D1 2 a2 + 2……5 分1 = 1 有且仅有一个解，求 k 的取值范围. x 1 2 6 解：设 f ( x) = kx + 2 - 1 ，则 f '( x) = k - 3 , f ''( x) = 4 > 0 . ……3 分 x x x (1) 当 k £ 0 时， f '( x) < 0 ，故 f ( x) 为递减函数， 又 lim f ( x) = +¥ ，而当 k < 0 时， lim f ( x) = -¥ ，当 k = 0 时， lim f ( x) = -1 . +故当 k £ 0 时，原方程在 (0, +¥ ) 内有且仅有一个解 (2) 当 k > 0 时，令 f '( x) = 0 ，解得唯一驻点 x =3 x ®0 x ®+¥ x ®+¥……6 分2 ，且为极小值点. k 3 3 2 2 3 k 2 由于 y = f ( x) 在 (0, +¥ ) 内是凹的， 所以当极小值 f ( ) 为 0， 即k + ( ) - 1 = 0 时， k k 2 2 2 3 .而当 k ¹ 3 时，原方程无解或有两个解. 原方程有且仅有一个解.由上式解得 k = 9 9 2 综上所述，当 k = 3 及 k £ 0 时，方程有且仅有一个解. ……9 分 9五、 （本题满分 9 分） 设y=x3 + 4 . x2（4）作出其图形.（1）求函数的增减区间及极值； （2）函数图像的凹凸区间及拐点； （3）求其渐近线； 解：(1) 定义域 (-¥, 0) U (0, +¥ ) ，由 y ' = 1 -x y' y(-¥, 0) + Z8 得驻点 x = 2 和不可导点 x = 0 .于是 x3 (0, 2) (2, +¥) + ] Z1994 年 第 13 页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考所以 (-¥, 0), (2, +¥) 为增区间, (0,2) 为减区间, x = 2 为极小点,极小值为 y = 3 .……2 分 ……4 分24 > 0 ，知 (-¥,0),(0,+¥) 为凹区间，且无拐点 x4 x3 + 4 (3) 由 lim = +¥ 知， x = 0 为垂直渐近线， x ®0 x2 x3 + 4 x3 + 4 又由 a = lim = 1, b = lim( - x) = 0 x ®¥ x ®¥ x3 x2 知 y = x 为斜渐近线.(2) 由 y '' = (4) 令 y = 0 ，得零点 x = - 4 . 于是其图形如图所示. 六、 （本题满分 9 分） 求微分方程 y"+ a 2 y = sin x 的通解，其中常数 a > 0 . 解：对应的齐次方程的通解为 y = c1 cos ax + c2 sin ax . (1) 当 a ¹ 1 时，设原方程的特解为 y* = A sin x + B cos x 代入原方程得 A( a 2 - 1) sin x + B ( a 2 - 1) cos x = sin x, 1 1 , B = 0, 所以y* = 2 sin x . 比较等式两端对应项的系数得 A = 2 a -1 a -1 (2) 当 a ¹ 1 时，设原方程的特解为 y* = x( A sin x + B cos x) 代入原方程得 2 A cos x - 2 B sin x = sin x,3……6 分 ……9 分……1 分 ……2 分……4 分 ……5 分1 1 比较等式两端对应项的系数得 A = 0, B = - , 所以y* = - x cos x. 2 2综上所述，当 a ¹ 1 时，原方程的通解为 y = c1 cos ax + c2 sin ax + 当 a = 1 时，原方程的通解为 y = c1 cos x + c2 sin x 七、 （本题满分 9 分） 设 f ( x) 在[0，1]上连续且递减，证明：当 0 < l < 1 时， 证：……8 分1 sin x a -121 x cos x . 21……9 分òl0f ( x)dx ³ l ò f ( x)dx0 1òl0f ( x)dx - l ò f ( x)dx = ò f ( x)dx - l ò f ( x)dx - l ò f ( x)dx0 0 01lll……2 分= (1 - l ) ò f ( x)dx - l ò f ( x)dx = (1 - l )l f (x1 ) - l (1 - l ) f (x 2 )0l1l= l (1 - l )[ f (x1 ) - f (x 2 )],其中 0 £ x1 £ l £ x 2 £ 1. 因 f ( x) 递减，则有 f (x1 ) ³ f (x 2 ) 又 l > 0,1 - l > 0 ，因此 l (1 - l )[ f (x1 ) - f (x 2 )] ³ 0 ，即原不等式成立1994 年 第 14 页……5 分 ……7 分 ……9 分

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考八、 （本题满分 9 分） 求曲线 y = 3- | x 2 - 1 | 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y = 3 旋转所得的旋转体体积.» 的方程分别为 解：如图， » AB 和 BC y = x 2 + 2(0 £ x £ 1), y = 4 - x 2 (1 £ x £ 2)则它们的体积元素分别： ……3 分 设旋转体在区间[0,1]上的体积为 V1 ，在区间[1,2]上的体积为 V2 ，dV1 = p {32 - [3 - ( x 2 + 2)]2 }dx dV2 = p {32 - [3 - (4 - x 2 )]2 }dx.由对称性得 V = 2(V1 + V2 ) = 2p2……7 分2ò {301- [3 - ( x 2 + 2)]2 }dx + 2p ò {32 - [3 - (4 - x 2 )]2 }dx1 2 022 1 = 2p ò (8 + 2 x 2 - x 4 )dx = 2p (8 x + x3 - x 5 ) 0 3 5=488 p. 15……9 分数 学（试卷四）一、填空题： （本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）x+ | x | dx = . -2 2 + x 2 【答】 应填 ln 3. 2 x+ | x | 2 2 2 x |x| x 【解】 ò dx = dx + dx = 0 + 2 ò-2 2 + x 2 ò-2 2 + x 2 ò0 2 + x 2 dx -2 2 + x 2 2 1 2 =ò d (2 + x 2 ) = ln(2 + x 2 ) 0 = ln 6 - ln 2 = ln 3. 0 2 + x2 x (2) 已知 f ' ( x0 ) = -1 ，则 lim = . x ®0 f ( x - 2 x ) - f ( x - x ) 0 0 【答】 应填 1. f ( x0 + Dx) + f ( x0 ) 【解】 由 f ' ( x0 ) = -1 ，知 lim = -1 ，于是有 x ®0 Dx f ( x0 - 2 x) - f ( x0 - x) f ( x0 - 2 x) - f ( x0 ) - f ( x0 - x) + f ( x0 ) lim = lim x ®0 x ®0 x x f ( x0 - 2 x) - f ( x0 ) f ( x0 - x) + f ( x0 ) = -2 lim + lim = -2 f ¢( x0 ) + f ¢( x0 ) = - f ¢( x0 ) = 1 x ®0 x ® 0 -2 x -x x 1 因而 lim = = 1. x ®0 f ( x - 2 x ) - f ( x - x ) 1 0 0(1)ò21994 年 第 15 页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考(3) 设方程 e + y 2 = cos x 确定的 y 为 x 的函数，则xydy = dx.【答】 应填 -ye xy + sin x . xe xy + 2 yxy【解】 方程两边对 x 求导，得 e( y + xy¢ ) + 2 yy¢ = - sin x ，解得 y¢ = -ye xy + sin x . xe xy + 2 yé0 ê0 ê (4) 设 A = ê M ê ê0 ê ë ana1 0 M 0 00 a2 M 0 0... ... ... ...0 é 0 ê1/ a 0 ê 1 【答】 应填 ê 0 1/ a2 ê M ê M ê 0 ë 00 ù 0 ú ú M ú , 其中 ai ¹ 0, i = 1, 2, L, n ,则 A-1 = ú an -1 ú 0 ú û ... 0 1/ an ù ... 0 0 ú ú ... 0 0 ú. ú M M ú ... 1/ an -1 0 ú û A1 ù é 0 = ê -1 ú 0û ë A1-1 -1.é0 【解】 根据分块求逆公式 ê ë B1 é0 ê0 ê A-1 = ê M ê ê0 ê ë an a1 0 M 0 0 0 a2 M 0 0 ... ...B1-1 ù ú ，可见 0 û 0 1/ an ù 0 0 ú ú 0 0 ú .. ú M M ú ... 1/ an -1 0 ú û ... ... ...0 ù 0 é 0 ú ê 0 ú 0 ê1/ a1 M ú = ê 0 1/ a2 ú ê ... an -1 ú M ê M ê ... 0 ú 0 û ë 0(5) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) = íì 2 x, 0 < x < 1 ，以 Y 表示对 X 的三次独立重复观 î 0, 其 他.察中事件 { X £ } 出现的次数，则 P{Y = 2} =1 2 9 【答】 应填 . 64【解】 由题意， 知 P{ X £ } =1 1 ， 且 Y 服从参数为 n = 3, p = 0 4 4 1 3 9 2 2 的二项分布，故所求概率为 P{Y = 2} = C3 ( ) ( ) = . 4 4 641 2ò1 2 -¥f ( x)dx = ò 2 2 xdx =11994 年 第 16 页