相似矩阵与矩阵可对角化的条件-1

相似矩阵

§4.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件 (一)相似矩阵及其性质 定义4.3 设A,B是n 阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵P, 使得 P 1 A P B 成立,则称矩阵A与B 相似, 记为 A ~ B 例如P 1

1 A 0

0 0

1 B 0

1 0

1 P

P

*

1 A 11 1 A1 21 1 1 0

A21 1 A22 00 1 0 0

1 1

1 P 0

1 可逆 1

P

1

1 AP 0

1 1 1 0

1 1 1 1 1 0 0 0

1 B 0

A ~ B

相似矩阵

存在可逆矩阵P,使得 P 1 A P B 注意: 1) 只有同阶方阵才有可能相似 2) 只要能找到可逆矩阵P,满足 P 1 A P B 就有 AA ~ B

~B

3)B P

P = 若干个初等矩阵的乘积 1

P G 1 G 2 ... G k

A P ( G 1 G 2 ...G k ) 1 A ( G G ...G ) 1 2 k ( G k ...G 2 G 1 1 1 1

) A ( G 1 G 2 ...G k )

A

B

经过k次列变换, k次相应的行变换后

相似矩阵

例1 若已知

2 A 4

1 1

,与A相似的矩阵有多少？

则P 解 如果P是可逆矩阵， -1AP B 与A相似 如果P1, P2,P3,P4,…都是可逆矩阵，则

P1-1AP1 ,P2-1AP2 , P3-1AP3 , P4-1AP4……都 与A相似. 可逆矩阵有许多,故与A相似的矩阵有许多. 例 单位矩阵 I 只与自己相似,I~ B kI ~ BB P 1

IP P

1

P I 1

k 0 kI 0 1

0 k 0

... ...

...

0 0 k

只与自己相似

B P

1

(kI )P kP

IP kP

P kI

相似矩阵

“相似”是矩阵之间的一种关系， 有性质： (1)反身性：对任意方阵A,有 A ~ A (2)对称性：若 A ~ B 则 B ~ A (3)传递性：若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C证 (1) 由 (2) 由 AA PBP

I

1

I

A IA I I

1

AI

A ~ AP BP A P P 1 1

~ B (P

知 1

PB PP 1

1

AP 1

1

)

B(P

1

) Q AP

BQ~ C 1

B ~ AC 知， Q 1

(3) 由 AC Q 1

~ B

知，B 1

P

1

由B 1

BQ A( PQ )

BQ Q

( P

1

A P )Q ( Q

P

) A ( P Q ) ( P Q )

1

A ~ C

相似矩阵

相似矩阵有如下性质： 1)相似矩阵有相同的秩: A ~B r( A) r(B ) A B 2)相似矩阵的行列式相等. A ~ B I A I B 3)相似矩阵有相同的特征多项式. A ~ B 4)相似矩阵有相同的特征值. 当它们都可逆时， 5) 相似矩阵或都可逆或者都不可逆， 它们的逆矩阵也相似. A与B可逆性相同, 当它们都可逆时， 1 ~ B 1 A A ~B6)A~B 7) A~B 8)A~B AT ~BTA ~ Bk k

k为任意非负整数. (A)和f (B)分别是A,B的多项式.

f ( A ) ~ f ( B ) 其中f

相似矩阵

证1)由A~B 知 , B= P-1AP ( G k ...G 2 G 1 1 1

( G 1 G 2 ...G k ) 1

1

A ( G 1 G 2 ...G k )

) A ( G 1 G 2 ...G k ) 1

A

B

P 1

∴秩(A)=秩(B)B P 1

2) 由A~B 知 B

AP

AP P

A

P

1 P

A P A

3)由A~B 知 , B= P-1AP I B I P P 1 1

AP P 1

1

IP P

1

AP

( I A ) P PA B

I A P

1 P

I A P I AB 0

5) 由A~B 知 1

A可逆

A 0

B可逆

由B=P-1APB (P 1

1 A P ) P 1 A 1 ( P 1 ) P 1 A 1 P

1

∴A-1 ~ B-1

相似矩阵

6) 当k=0 时I ~ I

A A Ik0

B B Ik0

A Ak

k

~ B1

k

当k=1 时 A ~ B

A Ak

B

k

B B1

A

~ B

k

当k=2,3,4,…时,由 ABk

~B

B P 1

1

AP 1 1

P

1

AP

k

( P A P )( P A P ) ( P A P ) ... ( P A P ) k个

1

=

P-1Ak P

∴Ak ~Bk

相似矩阵

7 ) 由A~B 知 B=P-1APBT

∴AT ~BT

P

1

AP

T

P A (PT T

1

) P A (P )T T T T

1

Q A QT

1

8 ) 由A~B 知 B=P-1APf ( B ) a 0 I a1 B a 2 B2

Q ... a n B 1

n

a0 P a0 P P 1

1

IP a1 ( P IP a1 P

1

AP ) a2 ( P 1

A P ) ... a n ( P2 1 n

1

AP )

n

1

1

AP a2P2

A P ... a n P2 n

A P

( a 0 I a 1 A a 2 A ... a n A ) P P 1 f ( A ) P

∴f ( A ) ~ f ( B )

相似矩阵

(二)n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件所有与A相似的矩阵 它们有许多共同的性质 1

所有与B 相似的矩阵 它们有许多共同的性质

P1

AP 1

A

P2 AP 2 P3 AP 3 1

1

P1 BP 1

1

B

P 2 BP 2 P 3 BP 3 1

1

P4

1

AP 4 ...... 1 其中是否有 0 0 0 ... ...

P4 BP 4 ......0 0 n

1

找一个最 简单的

2 0

...

相似矩阵

定义

1 0 如果矩阵 A~ 0

0

... ...

2 0

...

0 0 n 0

则称A可对角化.

矩阵A可对角化

1 0 A ~ 0

... ...

2 0 1

...

0 0 n

存在可逆矩阵P,使得

P

AP

1 0 0

0

... ...

0

2 0

...

0 n

相似矩阵

1 0 矩阵A可对角化 A ~ 此时,A与Λ 有相同的特征值。 0 0 0 0 ... ... 0 1 0 0 0

0

... ...

2 0

...

0 0 n

0

... ...

I

0

2 0

...

...

1 0 0 0 0 n

0

... ...

0 0

2 0

...

n

( 1 )( 2 )...( n )

Λ 的特征值为 1 , 2 , ..., n

故A的特征值为 1 , 2 , ..., n

即如果矩阵A可对角化，A~对角矩阵Λ 则Λ的主对角线上的元素

1 , 2 , ..., n 为矩阵A的特征值.

相似矩阵

1 2 例 A 2和3为A的全部特征值. 4 1 2 1 是对应于3的特征向量 1 是对应于2的特征向量 2 1 1 A 2 3 2 A 1 2 1 2 0 A 1 A 2 2 1 3 2 1 2 A 1 2 0 3 2 1 2 A 1 1 1 1 2 1 0

1 2

1 2

0 3

1×2

1×2

2×2

2 AP P 0

0 3

P

1

2 AP 0

0 3

1, 2 1, 2

对应于不同特征值 线性无关.

对角矩阵 2 1 1 P 1

1

2

可逆

相似矩阵

定理4.3 n 阶矩阵A与n

1 阶对角矩阵 0 0

0

... ...

2 0

...

0 0 n

相似的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量.A可对角化 A有n个线性无关的特征向量

相似矩阵

证 必要性 设

1 0 A~ 0

0

... ...

2 0

a 11 a 21 a n1

a 12 a 22 an2

... ...

...

a1n a2n a nn

p 11 p 21

p 12 p 22 pn 2

pn1

x1

x2

p 1 n p 11 p 12 ... p 1 n 1 p 21 p 22 ... p 2 n 0 ... p 2 n p n 1 p n 2 ... p nn 0 ... p nn xn ... xn x1 x2 ... ...

...

0 0 n

即存在可逆矩阵P,使得P P 1 AP P AP P 0 ... ... 0 0 n

2 0

...

A x 1 x 2 ... x n Ax 1 Ax2

n

x 1 x 2 ... x n

... Ax

1×n

10 0

0

... ...

2 0

...

x 1 , x 2 ,..., x n 是 A 的特征向量 x 1 , x 2 ,..., x n 线性无关 P 0 ∵P可逆

n×n

0 0 n

x 1 1

x 2 2 ... x n n

Ax 1 1 x 1 Ax 2 2 x 2 ... Ax n n x n

A可对角化

λ 1 , 2 ,..., n是A的特征值 A有n个线性无关的特征向量

相似矩阵

充分性 设A有n个线性无关的特征向量 设 x 1 , x 2 , ..., x n 是A的n个线性无关的特征向量设 1 , 2 , ..., n是相应的特征值A x 1 1x 1 A x 2 2x 2...A x n nx n0 0 n

A x1x1 p 11 p A 21 A pn1

A x 2 ... A x n x 1 1

2 x2

A x 1 x 2 ... x n

...... ...

x2

...... ...

xnp1 n p2n p nn

x1 p 11 p 21 pn1

x2p 12 p 22 pn 2

p 12 p 22 pn 2

...

...

0 ...

1 ... n x n 2 ... 0 x 1 x 2 ... x n xn 0 ... 0 0 ... 0 p1 n 1 p2n 0 2 ... 0 p nn 0 0 ... n

AP P P 1

x 1 , x 2 ,..., x n 线性无关 A~

P 0

∴P可逆

AP

A可对角化

A有n个线性无关的特征向量

相似矩阵

A可对角化A不可对角化

A有n个线性无关的特征向量A没有n个线性无关的特征向量 1 0 则 A~ Ax n n x n 0 0 ... ... 0 0 n

推论 若矩阵A有n个相异的特征值 1 , 2 ,..., n

2 0

证 设

Ax 1 1 x 1 Ax 2 2 x 2 ...

...

由于 1 , 2 ,..., n 互不相同

x 1 , x 2 ,..., x n 线性无关

x 1 , x 2 ,..., x n 是 A 的 n 个线性无关的特征向量

所以A可对角化.

A有n个相异 的特征值

A可对角化 注意